圆的知识与此内容相结合，题目难度大增，构造全等三角形是关键

例题：（初中数学题 圆与全等三角形相结合）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC=BC，弦CD与AB交于E，AB=CD，过A作AF⊥BC于F．

（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AC=2CF+BD.

知识回顾

圆周角定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

分析：（1）由弦相等得到弧相等，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，证明∠ABD=∠CAB，即可得出结论：AC∥BD．

（2）根据需要证明的结论AC=2CF+BD，以及这三条线段的特点，作出恰当的辅助线构造出全等三角形。在BF上取一点H，使得FH=FC，连接AH，AD．这样CH=2CF，只要证明△ABH≌△ABD，便可以推出BD=BH，于是可得结论．

请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（1）解：AC与BD的位置关系是：AC∥BD．

理由：连接BD．

∵AB=CD，

∴弧AB=弧CD，

∴弧AD=弧BC，（减去公共弧BD）

∴∠ABD=∠CAB，（等弧所对的圆周角相等）

∴AC∥BD．

（2）证明：在BF上取一点H，使得FH=FC，连接AH，AD．

∵AF⊥CH，FC=FH，

∴AC=AH，（垂直平分线的性质）

∴∠ACH=∠AHC，

∵∠ACH+∠ADB=180°，（圆的内接四边形对角互补）

∠AHC+∠AHB=180°，

∴∠ADB=∠AHB，

∵弧AD=弧BC，（已证）

∴AD=BC，

∵AC=AH，AC=BC，

∴AD=BC=AC=AH，

∴AD=AH，弧AD=弧AC，

∴∠ABH=∠ABD，

∴△ABH≌△ABD（AAS），

∴BD=BH，

∴AC=BC=CF+FH+BH=2CF+BD，

即AC=2CF+BD.

（完毕）

这道题属于综合题，考查了圆周角的知识、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。