引言

问题

设

为正整数，数列

满足：

（1）证明：存在一个非立方数的正整数

，使得数列

中有一项为立方数。

（2）证明：数列

中至多有一项为立方数。

第一问送分，只需要简单列举几项就能找出一例。第二问需要一些观察，事实上，高中阶段处理这类题唯一可行的方式就是同余分析法，因为此题没有办法用通项公式方法解决。用同余分析法就需要去寻找一个适当的模，使得它的余数不会太多，经过试验，

是一个很好的选择。本题基于一个很显然，但又不容易发现的事实：

引理：一个立方数模

的余数只可能是

以上引理留给读者验证，下面给出此题的详细解答。

（1）令

，从而

即

为立方数，满足条件。

（2）设数列中存在立方数，则不妨把数列中第一个出现的立方数当作数列的第一项

，我们要说明之后的项都不可能是立方数。由于

为立方数，而一个立方数模

的余数只可能是

，则

从而

由数学归纳法可知，当

时，

再结合

可知，

之后的项都不可能是立方数。证毕！

本题重点在于观察，通过几个简单的计算，去寻找数列中的一些规律，只要能够发现一个立方数模

的余数只可能是

，则能够轻轻松松解决此题。

本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。