引言
问题
设是锐角三角形内部一点,使得
线段上的点满足
线段上的点满足
且直线上的点满足设 和分别是三角形和三角形的外心。
证明:直线和共点。
分析
要证明三线共点,其中一个思路就是先作出其中两线的交点,再证明这个交点属于第三条直线。
在此题中,都是三角形上的点,为两圆圆心,所以不难想到作出的交点,再证明这个交点属于
考虑到为两圆的其中一个交点,我们很容易联想到两圆的另一交点,要证明在上,只需要证明(引理 5)。此时不难想到利用反演变换,即以为反演中心,为反演幂作反演变换,我们只需证明这是反演变换下的不动点。为此,我们只需要试着找出一对反像,使得它们的一个交点为。
要找出一对反像,我们很自然想到利用某些反演点,从而不难猜到和极有可能互为反演点,而要论证这一点,我们需要论证为与的公切线 (引理 2),而不难发现,这一点成立的前提是四点共圆 (引理 1)。
在反演变换中,常见的反像要么是圆和圆,要么是圆和直线,要么是直线和直线,而在此题当中,我们注意到出现了一个完全四边形,从而我们很容易将其密克点联系起来,从而我们可以由此构造出很多四点共圆,而结合我们上面要证明的两组反演点,我们又多了一组反演点。
综合这些反演点,我们要构造的一对反像实际上是和,而要成为它们的交点的前提是和四点共圆 (引理 4),而要证明这一结论,我们需要论证四点共圆 (引理 3)。
下面提供本题的详细解答。
解答
设延长线交延长线于
接下来,我们按步骤,将整道题分成几个引理来一步一步证明在直线上。
引理 1:四点共圆。
证明:如图二,作外接圆,延长交外接圆于作外接圆,外接圆
所以与相切,同理与相切,故对这两圆的幂分别为和,又因为,从而在两圆的根轴上,而为两圆的一个交点,也在两圆根轴上,从而为两圆根轴。不妨设两圆的另一交点为,则也在上。从而
故由圆幂定理知四点共圆。证毕!
引理 2:与外切,为两圆公切线(根轴)。
证明:如图三,设交于
由引理 1,
故四点共圆,从而
所以两圆外切。
注意到为和的根轴,为和的根轴,从而由蒙日定理知,和的根轴必然经过,又因为两圆外切于,从而也在两圆根轴上,从而为两圆公切线(根轴)。证毕!
完全四边形中,由于四点共圆(引理 1),所以密克点在上,设该点为,设交于
引理 3:四点共圆。
证明:如图四,注意到
从而四点共圆。证毕!
设延长线交于
引理 4:和四点共圆。
证明:如图五,注意到
从而由圆幂定理知四点共圆。
由引理 3 得到的四点共圆,以及刚得到的四点共圆,可知
从而由圆幂定理知四点共圆。证毕!
引理 5:
证明:如图六,由引理 2 可知,
又由于四点共圆,从而
以为反演中心,为反演幂作反演变换,由上面两式知和为两对反演点,从而和互为反像,而注意到为这两个反像的交点,从而是反演变换下的不动点,从而证毕!
由引理 5 的可知,在线段的垂直平分线上,而由引理 4 知是和的两个交点,从而线段是两圆的公共弦,所以是线段的垂直平分线,所以在上。证毕!
分析
本题是本次 IMO 最难的几何题,难度仅次于第二题的不等式,得分率也十分低。本题涉及非常多的平面几何知识点,例如圆幂与根轴,蒙日定理,密克点的性质,反演变换等等,解决此题需要非常熟练的平面几何技巧以及相当敏锐的直觉。
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