初中数学：母子相似三角形在不同几何图形中的灵活应用

相似三角形是中考数学中的必考知识点之一，而相似三角形中的母子相似又是我们最常见的相似类型。在三角形（尤其是直角三角形）、四边形、圆等相关题目中，经常可见母子相似型的三角形，因此，其基础性与重要性可见一斑，我们必须学会灵活应用。

一、基本原理

1、基本定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2、判定方法：

（1）两角分别相等的两个三角形相似；

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

二、母子相似三角形基本图形

初中数学

三、母子相似三角形在不同几何图形中的应用

3.1、普通三角形中的母子相似

例1、已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB =∠ABC。

求证：（1）DB2 =DE·DA ;（2）∠DCE =∠DAC

证明：（1）∵∠DEB =∠ABC

∠BDE=∠BDE

∴△BDE ∽△ADB

∴BD/AD = DE/DB

∴DB2 =DE·DA

（2）∵AD是中线

∴CD = BD

∴CD2 =DE·DA

又∵∠ADC=∠CDE

∴△DCE ∽ △DAC

∴∠DCE =∠DAC

3.2、直角三角形中的母子相似

例2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C = 90º，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：（1）△AME ∽△NMD ；（2）ND2=NC·NB

证明：（1）∵AD是Rt△ABC中∠A的平分线，

∴∠1 = ∠2

∵∠C = 90º ，EF是AD的垂直平分线

∴∠1+∠ADC = ∠4+∠ADC = 90º,∠3 = ∠4

∴∠1 = ∠4 = ∠2

又∵∠AM E= ∠NMD

∴△AME ∽△NMD

（2）∵EF是AD的垂直平分线

∴ND = NA

∵∠C = 90º ，EF是AD的垂直平分线

∴∠7+∠3+∠4 = ∠B+∠1+∠2

又由（1）知∠1 = ∠4 = ∠2 = ∠3

∴∠7 = ∠B

又∵∠ANC = ∠ANC

∴△ANC∽△BNA

∴AN/BN = NC/NA

∴NA2=NC·NB

又ND = NA

∴ND2=NC·NB

3.3、四边形中的母子相似

例3、如图，F、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC的点，且BF = BQ ，BH⊥PC于H，求证：QH⊥DH。

例4、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)求证：EG2=GF·AF/2；

证明：（1）由折叠的原理，

△ADF≌△AEF

∴DF=EF，DG=EG，∠AFD=∠AFE；

∵GE//CD；∴∠EGF=∠AFD；

∴∠EGF=∠AFE；

∴EG=EF；

∴DF=EF=DG=EG；即四边形EFDG是菱形。

（2）在Rt△DOF和Rt△ADF中，∠DFO=∠AFD，

∴Rt△DOF∽Rt△ADF；

∴ AF:DF=DF:OF；

∴DF^2= OF·AF；

又OG=OF=GF/2，OD⊥GF；

∴EG^2=GF·AF/2.

3.4、圆中的母子相似