例说“存在域”扩展

冯跃峰

所谓“存在域”，就是指某种对象的变化范围，它实质上就是函数定义域的拓广。在研究某些问题时，若我们的观察点囿于所研究对象已有的存在范围，则常常难以发现问题的本质规律。如果将存在域适当的拓广，则可使一些规律趋于明显。

存在域拓广的最常见的方式，使将原有的存在域复制，然后按适当的方式将其拼合在一起，使研究对象的变化更“自由”。当发现了规律后，再将原存在域与扩展的存在域叠合在一起，便得到原问题的解决方案。

下面我用一个例子来说明。

例1、设M={1，2，…，1989}，求证：可将M划分为117个子集Ai（i=1，2，…，117），使|A1|=|A2|=…|A117|，S（A1）=S（A2）=… =S（A117）。（第30届IMO试题）

这是一个早期的国际数学竞赛试题，但很有代表性。通过研究，我们得到了多种解法，最后将问题进行了推广。

【题感】从条件看，1989=17×117，每个子集中元素个数都为17。因为数据较大，可先考虑简单一点的问题。

该问题的一般形式是：设m、n为奇数，将1，2，…，mn排列成m×n的数表，使表中各列的和都相等（每列中的数构成一个子集）。

由此研究特例，希望发现排列的规律。

【研究特例】先考虑m=3的情形：将1，2，…，3×（2n+1）排列成3×（2n+1）的数表，使各列的和都相等。

【化归特例】进一步发现，只要解决了m=3的情形，则m>3的情形是轻而易举的：后面m-3（偶数）行利用“高斯方法”即可（相邻两行中，一个是递增连续自然数，另一个是递减连续自然数）。

【多层次特例】对于m=3的情形，我们再研究其特例：令n=1，考察1，2，…，3×3的排列方法。

先按自然顺序，将1，2，…，9排成3行：

1，2，3

4，5，6

7，8，9

【以简驭繁】尽量调整尽可能少的数：保持第3行不动（最大的3个数），只调整前两行中的数。

进一步，为使调整简便，我们只对同一行中的数进行调整（每个数调整后仍在原来的行中）。

【充分条件】注意到第3行是公差为1的等差数列，所以我们只须将前两行的列和调整为公差为1的等差数列，最后把7、8、9 分别放在列和为大、中、小的列中即可。

【穷举构造】先按自然顺序排好1、2、3，再考虑4的排法。

容易发现，4不能与1同列。否则，列和为5、7、9或5、8、8，都不是连续自然数的排列。

于是，4的排法有2种可能，我们看看哪种排法是“好”的（便于推广）。

本题非常有趣，这两种可能都是“好”的，由此可得到不同的构造。

（1）先考虑第一种排法：将4排在3的下方的情形，则前两行排法是唯一的。

1，2，3

5，6，4

如何将其迁移到一般情况？我们需要发掘这一排法的规律。

从不同的角度观察将产生不同的理解，得到不同的解法。我们 期望有什么样的规律呢？同一行的数最好是成等差数列排列，特别是自然数列。

●角度1：存在域向左边扩展。

考察第二行的5，6，4，其中4只能排在3的下方，不能调整位置。考察与4相邻的数5，它被6隔开，现在想象将6调整到其他位置，则连续自然数4、5呈现“跳跃式”排法：每隔一个位置排一个数。由此想到由5再向左隔一个位置排6，这就要将“存在域”向左扩展，于是上述排法可理解为：

【发掘特征】第一行是1，2，3排列两次，第二行则按如下规则排列

从最后一个位置开始，依次排列4、5、6，每隔一个位置排一个数（数量特征：逆向递增；位置特征：跳跃排法）。

【特征迁移】再看n=2的情形，此时M={1，2，… 15}。

●角度2：存在域向右边扩展。

重新考察第二行的5，6，4，其中4只能排在3的下方，不能调整位置。

考察4之外的两个数，发现5、6按自然顺序“紧凑”排列，由此想到将5、6同时调整到4的右侧，则4、5、6整体呈现“连续”排法，这就要将存在域向右扩展，于是上述排法可理解为：

但此时的特征还不太明显，关键是“4”的位置不好刻画，容易误以为4排在第一行第一个周期的末尾位置，其实不然，再看一个特例。

当n=2时，类似排列如下：

此时，每一列的和分别为10，12，9，11，13，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

【发掘特征】第二行第一个数6排在第一行第一个周期段（1，2，3，4，5）的“中线”右侧的第一个位置。

如果我们不囿于每一行按连续自然数排法，则n=1的特例中的第一种排列方式还有另一种形式的理解。

●角度3：分块观察。将第一种排法分为左右两块，它可理解为：

则可得到第二种构造方法。

【发掘特征】第一行是自然序列，第二行则可分为左右两个部分（位置特征），其左边部分是连续的奇数，右边部分是连续的偶数（局部数量特征）。

【特征迁移】再看n=2的情形，结果同样如此：

此时，每一列的和分别为10，9，13，12，11，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

上面3种理解都可迁移到一般情况，便得到原题的解答。

【解法1】（原解答）将前234个自然数排成如下两行：

其中第一行是公差为1的等差数列，第二行中，奇数项和偶数项分别是公差为-1的等差数列。

此时，每一列的和分别为177，236，178，237，…292，234，293，235，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

现在，适当调整各列的顺序，使每列两个数的和从左至右构成一个公差为1的等差数列。

最后，将235，236，…，1989依次排成这个数表的后15行，每行117个数，奇数行是从右至左排，偶数行是从左至右排，则以每列的数构成一个集合，这117个集合合乎要求。

【解法2】一般地，对n=2r+1，类似的排法如下，其中第二行从左至右是递增的连续自然数，且第一个数2r+2排在第一行（1，2，3，…，2r+1）中位于中心的数r+1所在的列的右边一列：

【发掘特征】两行都是自然序列，第二行第一个数4排在第一行第一个周期的“中线”位置。

【特征迁移】再看n=2的情形，结果同样如此：

此时，每一列的和分别为9，11，13，10，12，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

同样，如果跳出“自然顺序排列”的禁锢，也可从另一角度理解上述特例的第二种排法（分块处理）。

【发掘特征】第一行是长度为n（n=3）的自然序列（1，2，3），第二行可分为左右两个部分（位置特征），其左边部分是连续的偶数，右边部分是连续的奇数（数量特征）。

【特征迁移】再看n=2的情形，结果同样如此：

此时，每一列的和分别为11，10，9，13，12，其中左、右边部分分别是连续自然数，合起来恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

上面2种理解都可迁移到一般情况。

【解法4】一般地，对n=2r+1，排法如下：

第一行是长度为n（n=2r+1）的自然序列（1，2，3，…，2r+1），第二行是紧接着的长度为n的自然序列（2r+2，2r+3，…， 4r+2，），其中第一个数2r+2排在第一行（1，2，3，…，2r+1）的“中线”位置。

此时，每一列的和分别为3r+3，3r+5，…，5r+1，5r+3，3r+4，3r+6，…，5r，5r+2，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列，同样可得到合乎条件的排法。

【解法5】一般地，对n=2r+1，前两行排列如下：

第一行是长度为n（n=2r+1）的自然序列（1，2，3，…，2r+1），第二行前r+1个为连续偶数，后r个为连续奇数。

此时，每一列的和分别为4r+3，4r+2，4r+1，…，3r+4，3r+3，5r+3，5r+2，…，4r+5，4r+4，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列，同样可得到合乎条件的排法。

其中以解法4最简单，解法5的“列和”最有规律，解法1最复杂，而命题组给出的恰恰是最复杂的一种。

利用解法4的构造方式，很容易将该问题推广到一般情形。

例2、设X={1，2，…，n}能划分为r个子集A1，A2，…，Ar，满足|A1|=|A2|=… =|Ar|，且S（A1）=S（A2）=… =S（Ar），求所有合乎要求的自然数n、r。（原创题）

【题感】从目标看，欲求的自然数n、r，需要建立关于n、r的等式和不等式，这可先由等和划分，得到n、r满足的必要条件，然后再验证该条件是充分的，进而求出自然数n、r。

从条件看，划分涉及集合容量及元素和两方面的信息，自然想到考察|X|及S（X）来探索相关结论。

【必要性】考察|X|及S（X），得到如下两个等式：

n=|X|=|A1|+|A2|+…+|Ar|=r|A1|；

n（n+1）/2=S（X）=S（A1）+S（A2）+…+S（Ar）=rS（A1）。

由第一个等式可知，r|n；

再由第二个等式可知，n（n+1）=2rS（A1）为偶数，但这个估计是“无效”的，因为2| n（n+1）是显然的事实。

由此想到对第二个等式进行“换边”变形：不仅n（n+1）为偶，而且除以r后，n（n+1）/r仍为偶。此外，显然有r<n。

再注意到n/r为整数，从而两个结论可合并为：n/r、n+1中至少一个为偶，且r<n。

【检验】反之，当n/r、n+1中至少一个为偶时，是否一定可r-等和划分呢？用具体数据进行检验，发现该条件也是充分的。

我们只需将1，2，…，n排列成n/r行，每行r个数，使每列和相等，然后以每列数作成一个集合即可。

【充分性】如果n/r为偶数，令n/r=2k。注意n/r的意义：每个子集中元素的个数，可知按高斯方法将n=2kr个数如下排列即可：

（2） 若n/r为大于1的奇数，则n/r≥3（至少3行）。由“充要条件”知n+1为偶数，即n为奇数。又n/r为奇数，所以r为奇数，令r=2k+1。

只需前2行排成“列和”为连续自然数，后偶数行按高斯方法排列即可。前两行如下排列合乎要求：

综上所述，n、r满足的充分必要条件是：n/r、n+1中至少一个为偶，且r<n。

如果n/r为偶，令n/r=2s，r=t（s、t∈N+），则（n，r）=（2st，t）；

如果n/r为奇，则由“充要条件”知n、r都为奇，令n/r=2s+1，r=2t-1（s、t∈N+），则（n，r）=（（2s+1）（2t-1），2t-1）。

综上所述，一切合乎要求的自然数n、r为（n，r）=（2st，t），（（2s+1）（2t-1），2t-1），其中s、t∈N+。

【注】为方便复制编辑，特提供纯文本文档如下：

所谓“存在域”，就是指某种对象的变化范围，它实质上就是函数定义域的拓广。在研究某些问题时，若我们的观察点囿于所研究对象已有的存在范围，则常常难以发现问题的本质规律。如果将存在域适当的拓广，则可使一些规律趋于明显。

存在域拓广的最常见的方式，使将原有的存在域复制，然后按适当的方式将其拼合在一起，使研究对象的变化更“自由”。当发现了规律后，再将原存在域与扩展的存在域叠合在一起，便得到原问题的解决方案。

下面我用一个例子来说明。

例1、设M={1，2，…，1989}，求证：可将M划分为117个子集Ai（i=1，2，…，117），使|A1|=|A2|=…|A117|，S（A1）=S（A2）=… =S（A117）。（第30届IMO试题）

这是一个早期的国际数学竞赛试题，但很有代表性。通过研究，我们得到了多种解法，最后将问题进行了推广。

【题感】从条件看，1989=17×117，每个子集中元素个数都为17。因为数据较大，可先考虑简单一点的问题。

该问题的一般形式是：设m、n为奇数，将1，2，…，mn排列成m×n的数表，使表中各列的和都相等（每列中的数构成一个子集）。

由此研究特例，希望发现排列的规律。

【研究特例】先考虑m=3的情形：将1，2，…，3×（2n+1）排列成3×（2n+1）的数表，使各列的和都相等。

【化归特例】进一步发现，只要解决了m=3的情形，则m>3的情形是轻而易举的：后面m-3（偶数）行利用“高斯方法”即可（相邻两行中，一个是递增连续自然数，另一个是递减连续自然数）。

【多层次特例】对于m=3的情形，我们再研究其特例：令n=1，考察1，2，…，3×3的排列方法。

先按自然顺序，将1，2，…，9排成3行：

1，2，3

4，5，6

7，8，9

【以简驭繁】尽量调整尽可能少的数：保持第3行不动（最大的3个数），只调整前两行中的数。

进一步，为使调整简便，我们只对同一行中的数进行调整（每个数调整后仍在原来的行中）。

【充分条件】注意到第3行是公差为1的等差数列，所以我们只须将前两行的列和调整为公差为1的等差数列，最后把7、8、9 分别放在列和为大、中、小的列中即可。

【穷举构造】先按自然顺序排好1、2、3，再考虑4的排法。

容易发现，4不能与1同列。否则，列和为5、7、9或5、8、8，都不是连续自然数的排列。

于是，4的排法有2种可能，我们看看哪种排法是“好”的（便于推广）。

本题非常有趣，这两种可能都是“好”的，由此可得到不同的构造。

（1）先考虑第一种排法：将4排在3的下方的情形，则前两行排法是唯一的。

1，2，3

5，6，4

如何将其迁移到一般情况？我们需要发掘这一排法的规律。

从不同的角度观察将产生不同的理解，得到不同的解法。我们 期望有什么样的规律呢？同一行的数最好是成等差数列排列，特别是自然数列。

●角度1：存在域向左边扩展。

考察第二行的5，6，4，其中4只能排在3的下方，不能调整位置。考察与4相邻的数5，它被6隔开，现在想象将6调整到其他位置，则连续自然数4、5呈现“跳跃式”排法：每隔一个位置排一个数。由此想到由5再向左隔一个位置排6，这就要将“存在域”向左扩展，于是上述排法可理解为：

1，2，3，1，2，3，

6， 5， 4，

【发掘特征】第一行是1，2，3排列两次，第二行则按如下规则排列

从最后一个位置开始，依次排列4、5、6，每隔一个位置排一个数（数量特征：逆向递增；位置特征：跳跃排法）。

【特征迁移】再看n=2的情形，此时M={1，2，… 15}。

按照上述规律，可得排法如下：

1，2，3，4，5，1，2，3，4，5

10， 9， 8， 7， 6

─────────────────

12， 13 9， 10， 11

此时，每一列的和分别为12，13，9，10，11，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。将左右两个表叠合成一个表得到构造如下：

1，2，3，4，5，1，2， 3，4，5

10， 9， 8，10 7，9 6

─────────────────

规律：第二行从最后一个位置开始，依次排列6、7、8、9、10，每隔一个位置排一个数。当排到第一个位置后，再从最后一个未排数的位置排起，直至排完所有位置。此时，从右向左看，奇数位是递减的自然数列，偶数位是递增的自然数列。

●角度2：存在域向右边扩展。

重新考察第二行的5，6，4，其中4只能排在3的下方，不能调整位置。

考察4之外的两个数，发现5、6按自然顺序“紧凑”排列，由此想到将5、6同时调整到4的右侧，则4、5、6整体呈现“连续”排法，这就要将存在域向右扩展，于是上述排法可理解为：

1，2，3，1，2，3

4，5，6，

但此时的特征还不太明显，关键是“4”的位置不好刻画，容易误以为4排在第一行第一个周期的末尾位置，其实不然，再看一个特例。

当n=2时，类似排列如下：

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

─────────────────────

10 12 9 11 13

此时，每一列的和分别为10，12，9，11，13，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

【发掘特征】第二行第一个数6排在第一行第一个周期段（1，2，3，4，5）的“中线”右侧的第一个位置。

如果我们不囿于每一行按连续自然数排法，则n=1的特例中的第一种排列方式还有另一种形式的理解。

●角度3：分块观察。将第一种排法分为左右两块，它可理解为：

1 2 3

5（奇） 6（偶） 4（偶）

则可得到第二种构造方法。

【发掘特征】第一行是自然序列，第二行则可分为左右两个部分（位置特征），其左边部分是连续的奇数，右边部分是连续的偶数（局部数量特征）。

【特征迁移】再看n=2的情形，结果同样如此：

1 2 3 4 5

9（奇） 7（奇） 10（偶） 8（偶） 6（偶）

───────────────────────────────

10 9 13 12 11

此时，每一列的和分别为10，9，13，12，11，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

上面3种理解都可迁移到一般情况，便得到原题的解答。

【解法1】（原解答）将前234个自然数排成如下两行：

1， 2， 3， 4， 5， … 112，113，114，115，116，117，

176，234， 175，233，174，… 179，120，178，119，177，118

其中第一行是公差为1的等差数列，第二行中，奇数项和偶数项分别是公差为-1的等差数列。

此时，每一列的和分别为177，236，178，237，…292，234，293，235，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

现在，适当调整各列的顺序，使每列两个数的和从左至右构成一个公差为1的等差数列。

最后，将235，236，…，1989依次排成这个数表的后15行，每行117个数，奇数行是从右至左排，偶数行是从左至右排，则以每列的数构成一个集合，这117个集合合乎要求。

【解法2】一般地，对n=2r+1，类似的排法如下，其中第二行从左至右是递增的连续自然数，且第一个数2r+2排在第一行（1，2，3，…，2r+1）中位于中心的数r+1所在的列的右边一列：

1，2，…，r+1， r+2， r+3，…，2r，2r+1， 1， 2， 3 …， r+1

2r+2，2r+3，…，3r，3r+1，3r+2，3r+3，3r+4，…，4r+2

─────────────────────────────────────

3r+4，3r+6，…，5r，5r+2，3r+3，3r+5，3r+7，…，5r+3

此时，每一列的和分别为3r+4，3r+6，…，5r，5r+2，3r+3，3r+5，3r+7，…，5r+3，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列，同样可得到合乎条件的排法。

【解法3】一般地，对n=2r+1，前两行排列如下，其中第二行前r个为递减的连续奇数，后r+1个为递减的连续偶数：

1， 2， 3， …， r， r+1，r+2，…， 2r-1， 2r， 2r+1，

4r+1，4r-1， 4r-3，…，2r+3， 4r+2，4r， …， 2r+6，2r+4，2r+2，

（ r个奇数 ） （ r+1个偶数 ）

─────────────────────────────────────────────

4r+2，4r+1，4r，…， 3r+3， 5r+3，5r+2，…，4r+5，4r+4，4r+3，

此时，每一列的和分别为4r+2，4r+1，4r，…，3r+3，5r+3，5r+2，…，4r+5，4r+4，4r+3，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。于是，适当调整各列的顺序，使每列两个数的和从左至右构成一个公差为1的等差数列。最后，按高斯方法，在后面排列奇数行，可使每列的和相等。

（2）再考虑将4排在2的下方的情形，则前两行排法如下：

1，2，3

6，4，5

●仍采用角度2：存在域向右边扩展。

考察第二行的6，4，5，其中4只能排在3的下方，不能调整位置。

容易发现4、5是按自然顺序“紧凑”排列，由此想到将6调整到4、5的右侧，则4、5、6整体呈现“连续”排法，这就要将存在域向右扩展，于是上述排法可理解为：

1，2，3，1，2，3

4，5，6，

则可得到第四种解法。

【发掘特征】两行都是自然序列，第二行第一个数4排在第一行第一个周期的“中线”位置。

【特征迁移】再看n=2的情形，结果同样如此：

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

─────────────────────

9 11 13 10 12

此时，每一列的和分别为9，11，13，10，12，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

同样，如果跳出“自然顺序排列”的禁锢，也可从另一角度理解上述特例的第二种排法（分块处理）。

●再采用角度3：分块观察。将第二种排法分为左右两块：

1，2，3

6，4，5

则排法可以理解为：

1 2 3

6（偶） 4（偶） 5（奇）

【发掘特征】第一行是长度为n（n=3）的自然序列（1，2，3），第二行可分为左右两个部分（位置特征），其左边部分是连续的偶数，右边部分是连续的奇数（数量特征）。

【特征迁移】再看n=2的情形，结果同样如此：

1 2 3 4 5

10（偶） 8（偶） 6（偶） 9（奇） 7（奇）

─────────────────────────────────

11 10 9 13 12

此时，每一列的和分别为11，10，9，13，12，其中左、右边部分分别是连续自然数，合起来恰好是公差为1的等差数列的一个排列。

上面2种理解都可迁移到一般情况。

【解法4】一般地，对n=2r+1，排法如下：

第一行是长度为n（n=2r+1）的自然序列（1，2，3，…，2r+1），第二行是紧接着的长度为n的自然序列（2r+2，2r+3，…， 4r+2，），其中第一个数2r+2排在第一行（1，2，3，…，2r+1）的“中线”位置。

1，2，…，r+1， r+2，…，2r， 2r+1， 1， 2，…， r-1， r，

2r+2，2r+3，…，3r+1，3r+2，3r+3，3r+4，…，4r+1，4r+2，

───────────────────────────────────────

3r+3，3r+5，…，5r+1，5r+3，3r+4，3r+6，…，5r， 5r+2

此时，每一列的和分别为3r+3，3r+5，…，5r+1，5r+3，3r+4，3r+6，…，5r，5r+2，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列，同样可得到合乎条件的排法。

【解法5】一般地，对n=2r+1，前两行排列如下：

第一行是长度为n（n=2r+1）的自然序列（1，2，3，…，2r+1），第二行前r+1个为连续偶数，后r个为连续奇数。

1， 2， 3， …， r， r+1，r+2， r+3，…， 2r， 2r+1，

4r+2， 4r， 4r-2，…， 2r+4，2r+2，4r+1，4r-1，…，2r+5，2r+3，

（ r+1个偶数 ）（ r个奇数 ）

───────────────────────────────────────────

4r+3，4r+2，4r+1，…，3r+4，3r+3，5r+3，5r+2，…，4r+5，4r+4，

此时，每一列的和分别为4r+3，4r+2，4r+1，…，3r+4，3r+3，5r+3，5r+2，…，4r+5，4r+4，它恰好是公差为1的等差数列的一个排列，同样可得到合乎条件的排法。

其中以解法4最简单，解法5的“列和”最有规律，解法1最复杂，而命题组给出的恰恰是最复杂的一种。

利用解法4的构造方式，很容易将该问题推广到一般情形。

例2、设X={1，2，…，n}能划分为r个子集A1，A2，…，Ar，满足|A1|=|A2|=… =|Ar|，且S（A1）=S（A2）=… =S（Ar），求所有合乎要求的自然数n、r。（原创题）

【题感】从目标看，欲求的自然数n、r，需要建立关于n、r的等式和不等式，这可先由等和划分，得到n、r满足的必要条件，然后再验证该条件是充分的，进而求出自然数n、r。

从条件看，划分涉及集合容量及元素和两方面的信息，自然想到考察|X|及S（X）来探索相关结论。

【必要性】考察|X|及S（X），得到如下两个等式：

n=|X|=|A1|+|A2|+…+|Ar|=r|A1|；

n（n+1）/2=S（X）=S（A1）+S（A2）+…+S（Ar）=rS（A1）。

由第一个等式可知，r|n；

再由第二个等式可知，n（n+1）=2rS（A1）为偶数，但这个估计是“无效”的，因为2| n（n+1）是显然的事实。

由此想到对第二个等式进行“换边”变形：不仅n（n+1）为偶，而且除以r后，n（n+1）/r仍为偶。此外，显然有r<n。

再注意到n/r为整数，从而两个结论可合并为：n/r、n+1中至少一个为偶，且r<n。

【检验】反之，当n/r、n+1中至少一个为偶时，是否一定可r-等和划分呢？用具体数据进行检验，发现该条件也是充分的。

我们只需将1，2，…，n排列成n/r行，每行r个数，使每列和相等，然后以每列数作成一个集合即可。

【充分性】如果n/r为偶数，令n/r=2k。注意n/r的意义：每个子集中元素的个数，可知按高斯方法将n=2kr个数如下排列即可：

1， 2， …，r，

2r， 2r-1， …，r+1，

… … … …

（2k-2）r+1，（2k-2）r+2，…，（2k-1）r，

2kr， 2kr-1， …，（2k-1）r+1。

（2） 若n/r为大于1的奇数，则n/r≥3（至少3行）。由“充要条件”知n+1为偶数，即n为奇数。又n/r为奇数，所以r为奇数，令r=2k+1。

只需前2行排成“列和”为连续自然数，后偶数行按高斯方法排列即可。前两行如下排列合乎要求：

（1，2，…，k） k+1，k+2，…，2k+1， 1， 2， …，k

2k+2，2k+3，…，3k+2，3k+3，3k+4，…，4k+2

────────────────────────────────────────────

3k+3，3k+5，…，5k+3，3k+4，3k+6，…，5k+2

综上所述，n、r满足的充分必要条件是：n/r、n+1中至少一个为偶，且r<n。

如果n/r为偶，令n/r=2s，r=t（s、t∈N+），则（n，r）=（2st，t）；

如果n/r为奇，则由“充要条件”知n、r都为奇，令n/r=2s+1，r=2t-1（s、t∈N+），则（n，r）=（（2s+1）（2t-1），2t-1）。

综上所述，一切合乎要求的自然数n、r为（n，r）=（2st，t），（（2s+1）（2t-1），2t-1），其中s、t∈N+。