武汉数学中考压轴题
令人眼花缭乱的原题图
第一问证明：
从何下手？
全等？平行成比例？
勾股定理？相似比例代换？
圆当中，格外注意圆周角。
再者，三角形多，角多，
所以尝试从角入手。
一所好大学！
首先画出与这一问相关的简略图！
用复杂的原图，很难打开思路！
∵y轴上的直径EF⊥BD，
∴弧BE=弧DE，
∴∠3=∠C----①
以上证明用到了
垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
同弧或等弧所对的圆周角相等。
第一问附图
∵BI平分∠CBD，
∴∠2=∠1----②
①+②得：
∠3+∠2=∠C+∠1。
而外角∠4=∠C+∠1，
∴∠3+∠2=∠4，
∴BE=IE。
目前暂无更简捷的证法。
第一问感悟：
考场上，面对题目复杂的描述，要善于尽快让已知和未知挂钩！
成年后为人处事的技巧，正是从做题过程中学到的。
要善于在纷繁芜杂的人际关系中
很快抓住本质，控制住事态发展。
复杂的题目往往解起来并不麻烦，怕就怕被扰乱心智。
第二问求解：
连接QA并延长交圆⊙A于点R，
∵QR为⊙A的直径，
∴∠QDR=90°，
则∠Q+∠R=90°----③
∵同弧QD所对的圆周角
∠QBD=∠R，
且已知∠G+∠QBD=90°，
∴∠G+∠R=90°----④
由③④知：∠Q=∠G。
又∵∠QAT=∠GAQ公共角，
∴△QAT∽△∠GAQ，
∴QA:GA=AT:AQ，
则AT·AG=半径QA的平方。
能否求出半径的具体数值？
有两种求法：
求法一：
∵BC是⊙A的直径，
∴BE⊥CE，
∵AI⊥CE已知，
∴AI//BE，
设AI=n，由中位线知，
IE=BE=2AI=2n。
在Rt△AIE中由勾股定理
得半径AE为
根号5倍的n。--⑤
∵∠5+∠6=∠3+∠6=90°，
∴∠5=∠3，
则Rt△BOE∽Rt△∠EIA，
∴BE:OE=EA:IA，
即2n:OE=(AO+OE):n，
∴2n:OE=(3+OE):n，
很容易解得
OE=2n/(根号5)。--⑥
由⑤⑥知：
3+OE=根号5倍的n，
也很容易求得n=根号5，
则半径为5。
此时，已经知道了直线AB
解析式中的k=3/4。
第二问附图
求法二：
设AI=n，
∵AI⊥CE由垂径定理
IC=IE=2n，
在Rt△AIC或Rt△AIE中，
均可由勾股定理得半径为
根号5倍的n，
∴OE=AE-AO
=(根号5倍的n)-3，
在Rt△ABO和Rt△BEO中，
由勾股定理得：
第二问的求法二
故AT·AG=半径的平方=25。
第二问感悟：
以上两种解法大同小异，
在圆中，凡见到垂直，必考虑
勾股定理、垂径定理、相切。
求线段长，注意全等、相似、
切线长定理。
本题的缺憾在于未涉及到相切。
都在努力学。
第三问求解：推荐三种解法：
解法一：
设圆O1与x轴交于点H，
连接NH并延长交MD于点K，
连接MO1并延长交圆上点J，
连接JN、JP。
好家伙，光铺垫就不少。
目的是证明
JN和PH两弧长相等。
第三问的解法一附图
∵k=3/4，OA=3，
∴BO=OD=4，AB=5，
∴∠3=∠D且
cos∠ABO=BO:AB=4/5。
∵同弧MH所对的圆周角
∠3=∠4，而∠3=∠D，
∴∠4=∠D，
∵∠D+∠OMD=90°，
∴∠4+∠OMD=90°，
∴NK⊥PD----⑦
∵直径JM所对的圆周角
∠JPM=90°=∠JNM，
∴JP⊥PD----⑧
由⑦⑧知NK//JP，
∴由平行弦所夹的弧相等得
弧JN=弧PH，
∴等弧所对的圆周角相等即
∠5=∠ABO，
∴cos∠5=cos∠ABO=4/5，
即MN:JM=4/5，而JM=2R，
∴MN/R=8/5，比值不变。
随着点P在AB上的移动，
圆O1的大小也随之变化，
弦MN的长也必随之变化。
风雨飘摇中，唯有△ABO
坚守贞操、岿然不动。
解法二：
设OM=m，
则点M坐标为(0，m)，
而D(4，0)，
第三问的解法二附图
第二问的解法二
∴∠NBM=∠A。
过点O1作O1L⊥MN于点L，
则MN=2LN且
∠LO1N=∠NBM=∠A，
∴sin∠LO1N=sin∠A=4/5，
即LN:R=4/5，
∴MN/R=8/5。
解法二较繁琐，用到了勾股定理、
直线解析式、相似、垂直于弦的
直径平分这条弦等知识点。
解法三：
第三问解法三附图
∵MO⊥BD，OB=OD，
∴∠5=∠6.
由三角形外角知：
∠5=∠3+∠A，
∠6=∠4+∠2，
同弧PM所对的圆周角
∠3=∠4，
∴∠A=∠2=∠LO1N，
则sin∠LO1N=sin∠A=4/5，
∴LN:R=4/5，
故MN/R=8/5。
提高成绩的捷径是
宁花时间钻研探究透彻一道
综合性强题，决不浪费时间
做过多的题。另多加体会总结。
努力学！
我常年担任中高考教研，
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