导数恒成立问题中端点效应解答失效的研究

在导数应用的学习中,恒成立问题一直是一大难 点问题,思维要求高,运算强度大,同时也是高考中常 考常新的题型．端点效应是指对一类函数的恒成立问 题,可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几 个特殊的值,先得到一个必要条件,初 步 获 得 参 数 的 范围,再在该范围内讨论,或去验证其充分条件,进而 解决问题．用该方法解决恒成立问题可以减少分类讨 论的类别,常 常 起 到 事 半 功 倍 的 效 果．但 并 不 是 所 有 恒成立问题均能通过端点效应解答,很多题目初看是 端点效应问题,但在运用时却发现端点效应失效(如 ２０２０年新高考卷第２１题)．本文基于导数恒成立问题 探讨端点效应为什么会失效,如何快 速 识 别 会 失 效,若失效又将如何处理．在导数应用中遇到类似“当 ∀x∈D 时,f(x)≥g(x,a),a 为参数”的恒成立问题时,将区间 D 的端 点值代入,当不等式两边刚好取等(此时参数a 被消 去了,等号成立),即意味着在很大程度上可采用端点 效应去处理．但 在 学 习 中,我 们 更 应 该 从 本 质 上 厘 清 恒成立问题的解题逻辑:１)构造函数h(x)＝f(x)－ g(x,a)(x∈D);２)求导,进阶处理(即多次求导),研 究h′(x)的单调性;３)计算出h′(０)在端点处的值,对 参数a 的范围进行分类讨论,即先必要再充分．

因此,端点效应失效的本质为端点处并不是函数 的最值,解决此类端点效应失效恒成立问题的关键点 在于找到函数的最值．根据上述探究不难发现,恒成 立时的“端点”既是函数的最值点,又是函数的零点．因此,解答此类问题时,只需要通过构造函数,联立方程求解最值和零点．而通过图形的实际刻画,我们也 能十分清楚地发现,此类端点效应失效问题可转化为 求直线与曲线交点公切线的切点．