题目1:如图1,在正方形ABCD中,点E是边BC上(除B、C外)的任意一点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F。求证:AE=EF。
解题思路:过点F作FG⊥BG(图2),根据一线三垂直模型,只要证明EG=AB=BC即可求证AE=EF。
设BE=x,EC=y,CG=FG=z,AB=x+y,EG=y+z。
易证Rt△ABE∽Rt△EGF(一线三垂直模型),则
AB/EG=BE/FG,(x+y)/(y+z)= x / z,整理后得:
yx=yz,因y≠0,则x=z,EG= y+z= y+x= AB,
易证Rt△ABE≌Rt△EGF,AE=EF成立。
附常规几何解法见图3。
题目2:在△ABC中,BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且BE=CD。求证AB=AC。
解题思路:设BC=a、AC=b、AB=c,BE=CD=x,则
AE=c-x,AD=b-x。
根据角平分线性质得:
AB/BC=AD/DC, c/a=(b-x)/x, x=ab/(a+c);
AC/BC=AE/EB, b/a=(c-x)/x, x=ac/(a+b),则
ab/(a+c)= ac/(a+b),整理后得:
(a+b+c)(b-c)= 0,(a+b+c)≠0,
b-c=0,b=c,
AB=AC成立。
题目3:如图,在等边三角形ABC中,点P、Q、R分别在AB、BC、AC上,且PQ⊥BC、QR⊥AC、RP⊥AB。求证:△PQR是等边三角形。
解题思路:分别设BQ=b,CR=c,AP=a,根据30°直角三角形性质,将相应边长标于图中。
∵AB=AC=BC,
∴a+2b=b+2c=c+2a,整理后得:
a=b=c,即√3 a=√3 b=√3 c,PR=PQ=QR。
故△PQR是等边三角形。
题目4:在△ABC中,AB=AC,过点C作△ABC外接圆的切线交AB的延长线于点D,过D作DE垂直于AC的延长线于点E。求证BD=2CE。
解题思路:已知AB=AC,根据切割线定理及勾股定理得:
BD·DA=DC²=DE²+CE²=(DA²-AE²)+CE²
=(BD+AB)²-(AC+CE)²+CE²
=BD²+AB²+2BD·AB – AC²-CE²-2AC·CE+CE²,
BD·DA = BD² + 2BD·AB - 2AC·CE,
BD·DA- BD² = 2BD·AB - 2AC·CE,
BD(DA- BD)= 2 AB(BD - CE),
BD·AB= 2 AB(BD - CE),
BD = 2(BD - CE),
BD =2 CE。
题目5:如图,在△ABC中,AD垂直且等于BC,BE垂直AC,垂足分别为D、E,H是AD、BE的交点,M为BC的中点。求证:DH+HM=1/2 BC。
解题思路:设BM=MC=x,MD=y,则
AD=BC=2x,DC=x-y。
易证Rt△BDH∽Rt△ADC,则有
DH/DC=BD/AD,
DH/(x-y)=(x+y)/2x,
DH=[(x-y)(x+y)] /2x,
DH =(x²-y²)/2x,
DH ²=(x²-y²)²/4x ²。根据勾股定理有:
HM ² =MD ² +DH ²
=y ²+(x²-y²)²/4x ²,整理后得:
HM=(x²+y²)/2x。
DH+HM=(x²-y²)/2x+(x²+y²)/2x=x。
故DH+HM=1/2 BC成立。
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