24. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A,B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C,D，其中点C的坐标为(2,0)．直线BC与直线PD相交于点E．
2023年浙江省金华市中考数学压轴大题24题
（1）如图2，若抛物线经过原点O．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．
（2）连接PC,∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的P点的横坐标；若不能，试说明理由．
本题是2023年浙江省金华市中考数学压轴大题24题，是考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，运用分类讨论是解题的关键，轻松解决等腰三角形存在问题，不漏解．题目计算量大，知识点运用要熟练。
方法技巧：
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB ＝AC，直接列方程；
②如图2，如果BA＝BC，那么1/2 AC=AB cos∠ A ；
③如图3，如果CA＝CB，那么1/2 AB=AC cos∠ A．
图1 图2 图3
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
,
,
,
然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算.
【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；②过点E作EH⊥OC于点H．设直线BC为y=kx+，把C(2,0)代入，得0=2k+，解得k= -，直线BC为y=同理，直线OP为y=．联立两直线解析式得出
E(,)，根据EH∥BO，由平行线分线段成比例即可求解；
（2）设点P的坐标为()，则点D的坐标为(2t-2,0)．
①如图2-1，当t>2时，存在∠CPE=∠BAO．令∠CPE=∠BAO=α,∠APC=β，则∠APD=α+β．
过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2．在Rt△APF中，cos∠ BAO=，进而得出点 的横坐标为6．
②如图2-2，当0<t≤2时，存在∠CPE=∠BAO．令∠CPE=∠BAD=α,∠APD=β．过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2．在Rt△APF中，cos∠ BAO=，得出点P的横坐标为．
③如图 2-3，当-2<t≤0时，存在∠CPE=∠BAO．令∠BAO=α．过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2．在Rt△APF中，cos∠ BAO=，得出点P的横坐标为．
④如图2-4，当t≤-2时，存在∠CPE=∠BAO．令∠BAO=α．过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=-t-2．在Rt△APF中，cos∠ BAO=，得出点P的横坐标为．
【小问1详解】
解：①∵OC=2，∴顶点 的横坐标为1．
∴当x=1时，y=，
∴点P的坐标是()．
设抛物线的函数表达式为y=，把(0,0)代入，
解得a=．
∴该抛物线的函数表达式为y=，
即 y=．
②如图1，过点E作EH⊥OC于点H．
设直线BC为，把C(2,0)代入，解得，
∴直线BC为．
同理，直线OP为．
∴E()．
∴OH=,HC=．
∵EH∥BO，
∴．
【小问2详解】
设点P的坐标为()，则点D的坐标为(2t-2,0)．
①如图2-1，当t>2时，存在∠CPE=∠BAO．
令∠CPE=∠BAO=α,∠APC=β，则∠APD=α+β．
∵∠PCD为△PAC的外角，∴∠PCD=α+β．
∵PC=PD．∴∠PDC=∠PCD=α+β．∴∠APD=∠ADP．∴AP=AD=2t．
过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2．
在Rt△APF中，cos∠ BAO=，
∴，解得t=6．
∴点 的横坐标为6．
②如图2-2，当0<t≤2时，存在∠CPE=∠BAO．
令∠CPE=∠BAD=α,∠APD=β．
∵∠PDC为△PAD的外角，∴∠PDC=α+β．∴∠PCD=∠PDC=α+β
∴∠APC=∠ACP．∴AP=AC=4．
过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2．
在Rt△APF中，cos∠ BAO=，
∴，解得t=．
∴点P的横坐标为．
③如图2-3，当-2<t≤0时，存在∠CPE=∠BAO．令∠BAO=α
∵PC=PD，∴∠PDC=∠PCD=∠CPE=α．
∴∠APD=∠BAO-∠PDC=α-a=α．
∴∠APD=∠PDA．∴AD=AP=-2t．
过点P作PF⊥x轴于点F，则AF=t+2．
在Rt△APF中，cos∠ BAO=，
∴，解得t=．
∴点P的横坐标为．
④如图2-4，当t≤-2时，存在∠CPE=∠BAO．令∠BAO=α．
∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPE=α．
∴∠APC=∠BAO-∠PCD=α-a=α．
∴PA=CA=4．
过点P作PF⊥x轴于点 ，则AF=-t-2．
在Rt△APF中，cos∠ BAO=，
∴，解得t=．
∴点P的横坐标为．
综上，点P的横坐标为6,,-,-．
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