初三几何综合题
(精选至2022年九年级上半年各地检测题,答案见视频)
1.如图1,在△ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,点D,E分别在边CA,CB上,
CD=CE,连接DE,AE,BD,过点C作CF⊥AE, 垂足为H,直线CF交直线BD
于F.
(1)求证:DF=BF;
(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转,其他条件不变,如图2,(1)的结
论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;
(3)若CD=2,CB=4,将△CDE绕点C逆时针旋转一周,当A,E,D三点共线
时,直接 写出CF的长。
2.如图1,在△ABE和△ACD中,AE=AB,AD=AC,且∠BAE=∠CAD,则可证明得到
△AEC≌△ABD.
【初步探究】(1)如图2,△ABC为等边三角形,过A点作AC的垂线l,点P为l上一动点(不与点A重合),连接CP,把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,连接QB.请写出AP与BQ的数量关系并说明理由;
【深入探究】(2)如图3,在(1)的条件下,连接PB并延长PB交直线CQ于点D.当点P运动到PD⊥CQ时,若AC=√(2),求PB的长;
【拓展探究】(3)如图4,在△ABC中,∠ACB=45°,以AB为直角边,A为直角顶点向外作等腰直角△ABD,连接CD,若AC=1,BC=3,则CD长为____.
3.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC.
【初步感知】(1)特殊情形:如图1,若点D,E分别在边AB,AC上,则DB____EC.(填>、<、=)
(2)发现证明:如图2,将图1中△ADE绕点A旋转,当点D在△ABC外部,点E在△ABC内部时,求证:DB=EC.
【深入研究】(3)如图3,△ABC和△ADE都是等边三角形,点C,E,D在同一条直线上,则∠CDB的度数为_____; 线段CE,BD之间的数量关系 为_____。
(4)如图4,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点C、D、E在同一条直线上,AM为△ADE中DE边上的高,则∠CDB的度数为______; 线段AM,BD,CD之间的数量关系为______.
4.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到 线段BD.
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的代数式表示)。
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并给出证明。
(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值。
5.在等腰△ABC中,AB=BC,点D,E在射线BA上,BD=DE,过点E作EF∥BC,
交射线CA于点F。请解答下列问题:
(1)当点E在线段AB上,CD是△ACB的角平分线时,如图1,求证:AE+BC
=CF;
(2)当点E在线段BA的延长线上,CD是△ACB的角平分线时,如图2,当点E在
线段BA的延长线上,CD是△ACB的外角平分线时,如图3,请直接写出线段
AE,BC,CF之间的数量关系,不需要证明;
【初步探究】
(1)如图,当B、D、E三点共线时,请探究此位置时线段AE、BE、CE之间
的数量关系,并说明 理由;
【拓展延伸】
(2)如图,当B、D、E三点不共线时,连结AE,延长BD交AE于点F,连结
CF,请猜想此位置时线段AF、BF、CF之间的数量关系:_______。
6.如图,△ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个120°的角,角的两边分别交直线AB,直线AC于M,N两点.以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变),当DM与AB垂直时(如图1),易证BM+CN=BD。
(1)如图2,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CN=BD
是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明 理由。
(2)如图3,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN=BD是否仍然成立?若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明 。
7.如图1,在△ABC中,∠B=60°,点M从点B出发沿射线BC方向,在射线BC上运动.在点M运动的过程中,连结AM,并以AM为边在射线BC上方,作等边△AMN,连结CN.
(1)当∠BAM=_____°时,AB=2BM;
(2)请添加一个条件:______,使得△ABC为等边三角形;
①如图1,当△ABC为等边三角形时,求证:CN+CM=AC;
②如图2,当点M运动到线段BC之外(即点M在线段BC的延长线上时),其他条件不变(△ABC仍为等边三角形),请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系,并证明。
8.△ABC和△ADE都是等边三角形。
(1)如图1,连接BC,CE并延长相交于点P,求证:∠DPE=60°;
(2)如图1,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;
(3)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明。
9.如图,△CAB与△CDE为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,CA=CB,CD=CE,
∠CAB=∠CBA=45°,∠CDE=∠CED=45°,连接AD、BE.
(1)如图1,求证:△ACD≅△BCE;
(2)如图2,若A、D、E三点共线,AE与BC交于点F,且CF=BF,AD=3,求△ACD的面积;
(3)如图3,BE与AC的延长线交于点G,若CD⊥AD,延长CD与AB交于点N,在BC上有一点M且BM=CG,连接NM,请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想。
10.已知点A(0,4)、B(-4,0)分别为平面直角坐标系中y、x轴上一点,将线段OA绕O点顺时针旋转至OC,连接AC、BC.
(1)如图1,求∠ACB的度数;
(2)若∠AOC=60°,∠AOB的平分线OD交BC于D,如图2,求证:OD+BD=CD;
(3)若∠AOC=30°,过A作AE⊥AC交BC于E,如图3,求BE的长。
11.问题背景:
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系。小明同学探究此问题的方法是:延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是________.
探索延伸:
(2)1)如图2,若四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由。
12.在等边△ABC中,点D是AC边上一动点,连接BD,将BD绕点D顺时针旋转120°,得到DE,连接CD.
(1)如图1,当B、A、E三点共线时,连接AE,若AB=2,求CE的长;
(2)如图2,取CE的中点F,连接AF,DF,猜想AF与DF的关系,并证明你的
猜想;
(3)如图3,在(2)的条件 下,连接BE交AF于点G,若GF=DF,请直接写
出的值
13.如图1,在四边形ABCD中,点E为CB延长线上一点,连接DE、BD,∠ADB=∠DBC, ∠DCE与∠DEC互余。
(1)求证:DE⊥CD;
(2)如图2,点F为DE上一点,连接AF、BF,AF∥BD,若∠DAF=2∠C,求证:DE平分∠ADB;
(3)在(2)的条件下,如图3,点G在BD上,连接CG,∠DCG=∠FAB,若∠AFD+∠BAD=110°,∠DGC=70°,求∠DFB+∠DBF的度数。
14.如图△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,若点D在线段BC上,且∠BAC=90°,∠BCE的度数为_____;
(2)设∠BAC=α,∠BCE=β。
①如图2,当点D在线段BC上移动 时,求证:α+β=180°;
②当点D在BC的延长线上时,①中的结论是否仍然成立?说明理由;
③当点D在CB的延长线上时,直接写出α,β之间的数量关系:_______
15.在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠ECD=90°,AC=BC,点D是CB延长线上一动点,点E在线段AC上,连接DE与AB交于点F.
(1)如图1,若∠EDC=30°,EF=4,求AF的长。
(2)如图2,若BD=AE,求证:AF=AC+BD。
(3)如图3,移动点D,使得点F是线段AB的中点时,DB=,AB=,点P、Q分别是线段AC、BC上的动点,且AP=CQ,连接DP、FQ,请直接写出DP+FQ的最小值。
16.1.发现问题:如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE,连接CD,BE. 试猜想CD与BE的数量关系是______;
2.问题探究:如图2,四边形ABCD中,∠ABC=45°,∠CAD=90°,AC=AD,AB=2BC=6。
求BD的长。
3.问题解决:如图3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠ACB是一个变化的角,以AB
为边向△ABC外作等边△ABD,连接CD,求CD的长度最大值。
17.如图1,在等腰直角三角形ADC中,∠ADC=90°,AD=4,点E是AD的中点,以DE为边作正方形DEFG,连接AG,CE. 将正方形DEFG绕点D顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°).
(1)如图2,在旋转过程中,
①判断△AGD与△CED是否全等,并说明理由;
②当CE=CD时,AG与EF交于点H,求GH的长。
(2)如图3,延长CE交直线AG于点P。
①求证:AG⊥CP;
②在旋转过程 中,线段PC的长度是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由。
18.已知等腰三角形ABC中,AB=AC=20cm,∠ABC=30°,CD⊥AB交BA延长线于点D, AF为CA的延长线,点P从A点出发以每秒2cm的速度在射线AF上向右运动,连接BP,以BP为边,在BP的左侧作等边三角形BPE,连接AE.
(1)如图1,当BP⊥AC时,求证:△ABP≌△ACD;
(2)当点P运动到如图2位置时,此时点D与点E在直线AP同侧,求证:AP=AB+AE;
(3)在点P运动过程中,连接DE,当点P运动___秒时,线段DE长度取到最小值。
19.如图1.在等腰三角形ABC中,∠A=120°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接BE,点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点。
(1)观察猜想
图1中,线段MN、NP的数量关系是______,∠MNP的大小为______;
(2)探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置,连接MP、BD、CE,判断△MNP的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,请求出△MNP面积的最大值。
20.等腰Rt△ABC,CA=CB,D在AB上,CD=CE,CD⊥CE.
(1)如图1,连接BE,探究线段AD与线段BE的关系并证明;
(2)如图2,连接AE,CF⊥AE交AB于F,T为垂足,①求证:FD=FB;
②如图3,若AE交BC于N,O为AB的中点,连接OC,交AN于M,连接
FM,FN。当=,则的最小值为______。
21.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,AB=13。
(1)如图2,点E是边BC上一点,△ABC沿着AE折叠,点C恰好与斜边AB上点D重合,求CE的长。
(2)如图3,点F为斜边上AB上动点,连接CF,在点F的运动过程中,若△BCF为等腰三角形,请直接写出AF的长。
22.两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形,我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段。例如:如图1,△ABC中,AB=AC,△ADE中,AD=AC,且∠BAC=∠DAE,连接DB,EC,则可证得△ADB≅△AEC,此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段。
(1)如图2,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°.
①图中线段AE的“友好”线段是____;
②连接AD,若AC=4,AD=2,∠DAC=45°,求AE的长;
(2)如图3,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,P是△ACB外一点,∠APC=75°,PC=, AP=4,求线段BP的长。
23.【问题背景】
(1)如图1,△ABC和△BED均为等边三角形,A、D、E三点共线,则∠AEC=____.
【变式迁移】
(2)如图2,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=60°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,DE=2√(7),DC=4,求BD的值;
【拓展创新】
如图3,D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=6,求△ABC的面积。
24.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E和点F分别从点D和点B同时出发,点E沿折线DAB按点D→A→B方向向终点B运动,点F沿线段BD按B→D方向向终点D运动,点E和点F的运动速度都是每秒1个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止 运动,设运动时间为t秒。
(1)当点F运动到BD的中点时,求AE的长;
(2)当△BEF的面积是矩形ABCD面积的时,请直接写出t的值;
(3)若点F不与点B和点D重合,在点E和点F的运动过程中,矩形ABCD的边上有一点G,且点A,E,F,G构成的四边形是平行四边形,请直接写出线段GE的长。
25.问题背景:如图1,在△ABC与△ADE中,若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
则存在一对全等三角形,请直接写出这对全等三角形;
尝试运用:如图2,在△ABC中,∠ABC=90°,将线段AC绕点C顺时针旋转90°至CD,DE∥AB,连接BE,CE,∠BCE=45°.若AB=2,DE=4,求BE的长;
拓展创新:如图3,在△ABC中,∠ABC=90°,将线段AC绕点C顺时针旋转90°至CD,DE∥AB,连接BE,CE,∠BCE=45°,∠ACB=∠DCE.直接写出的值。
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