这是在今日头条上看到的中考压轴几何题。老师说会的基本都上了名牌大学,还有60%的人一辈子不会。有那么难吗?
题目:在等腰直角△ABC中,∠A=90°,F是AC的中点,AD⊥BF交BF于E,求证:BD=2CD。
中考压轴几何题
解题分析:△ABC是等腰直角三角形,F是腰的中点,说明AF/AB=1/2,如果CD/BD也是1/2,我们有多种方法作辅助线解题,下面就是一种。
延长BA到G,使AG=AF,那么AG/AB=1/2,我们只要证明AD∥GC,就有CD/BD=AG/AB=1/2。
作辅助线
证明两直线平行,通常用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来证明。这里正好有一对内错角∠ACG和∠CAD,我们来看看这两个角是否相等。
△AFG也是等腰直角三角形,∠FCG+∠FGC=∠AFG=45°,∠EAF=∠ABE,所以∠EAF+∠DBE=45°,如果∠ACG=∠CAD,则有∠FGC=∠DBE,我们证明它们相等即可,以上过程可以反推。
因为△ACG≌△ABF,
所以∠AGC=∠AFB,
即∠FGC+45°=∠DBE+45°,
得到∠FGC=∠DBE,
因为∠FCG+∠FGC=∠EAF+∠DBE=45°,
所以∠FCG=∠EAF,AD∥GC。
根据平行线的性质,BD/CD=AB/AG=2/1,即BD=2CD。
我的方法:作FR//DC,交AD于R,则RF=1/2DC,再证明RF=1/4BD(需要一点点智慧,利用相似三角形),即可得证:BD=2DC。哈哈哈哈哈😄,如何?
BAF相似AEF,EF:EB=1:4,所以ADF:ADB=1:4,所以ADC:ADB=1:2,所以BD=2CD。
所谓中考压轴题?小学完全可以做。补齐过方形ABMC,延长AD交MC于N,△ABF≌△CAN
→NC=AF=½AB
→N是MC中点,
→S△NDC:S△CDA=1:2
S△CDA=1/6S正
S△ABD=1/3S正
→S△CDA:S△ABD=1:2
→CD:BD=1:2
→BD=2CD
根据直角三角形AEB和FEA相似并2:1,求出BE=2AE,AE=2EF。所以FG=0.25BD,而FG=0.5DC,结论得证。
还是作者的解法最简便。为了考试推荐一下设数字法。(虽然计算繁琐,但不用过多费脑)。首先在BC上取一点G,使BG=DC,设EF=1,可以得出AB=2(根号5),过A点做AO垂直于BC于O,交BF于K,得出KE=2/3,OD=(根号10/3),所以BG=GD=DC=2/3(根号10)
最简单的辅助线
过D作DM DN垂直AB AC
ABF中 三边比 1:2:g5
DM:AD=2:g5
DN:AD=1:g5
(其实就是正弦 余弦)
SABD:SACD=DM:DN=BD:DC=2
GF⊥BC,则 点F 是 三角形GBC的垂心,得BF⊥GC,得AD//GC。
过C作BF的垂线交BF延长线于m,AB:AF=2,则BE:AE=2,BE:DE=3,Cm=AE,则DE:Cm=2:3,BD:BC=2:3,BD:CD=2
直接用余弦定理列方程就可以得到BD为3分之2倍根号2AB,CD为3分之1倍根号2AB,所以BD=2CD
俺最喜欢用暴力解题
过C作CG垂直于AD,垂足为G。易证△AGC≌△BEA,GC=AE,△AGC中,EF∥GC,AE=1/2AG=1/2BE,故,GC=1/2BE,而△DGC∽△BED,∴BD=2DC
过F做ed的平行线交cd于G.显然be=4ef,所以bd=4dg.因F为中点,G也为重点,所以cd=2dg.所以bd=2cd
12345模型,不用辅助线,EF =1, AE =2, BE=4, DE=4 /3,AC=2根号5,BD=4 根号10/3,BC=2根号10,CD=2根号10/3,BD=2CD
借花献佛
△AGC≌△AFB
∠EAF=∠ABF=∠ACG
∴AD∥GC
补全正方形,利用重心定理也可证。一般地,等腰直角三角形,放在正方形中,问题便会简化。
哪里需要辅助线?
AF:AB=1:2
1:2:g5
SABD:SADC=2:1
BD:CD=2
(过D分别向AB AC作高 ,高的比是2:1)
补齐正方形ABMC,设AD延长线交MC于N,
△ABF≌△CAN
→NC=AF=½AB
△ABD∽△NCD
→AB:NC=BD:CD
→BD=2CD
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