鸡爪模型（上）

　　在初中数学中，关于旋转的常见模型有四个——对角互补、半角、手拉手和鸡爪，前三个在“王道初中数学”都有过介绍，这期我们重点介绍一下鸡爪模型。

鸡爪模型：

　　如图１，AB、AC、AD是以点A为公共端点的三条线段，这就是“鸡爪模型”的原图，其中AB、AC、AD就是“鸡爪”。

　　在常见的“鸡爪”中，有三个要素，（１）三条线段有一个公共的端点；（２）其中两条线段的长度相等；（３）这两条线段所夹的角是特殊角。如图１，AB、AC、AD有一个公共的端点Ａ，其中ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝９０°，在证明或计算时，需连接ＢＣ，将△ＡＢＣ逆时针旋转９０°（如图２），然后参考手拉手模型将题目条件重新组合。（或者连接ＣＤ，将△ＡＣＤ顺时针旋转９０°）

下面我们以题说法

例１　如图３，点Ｐ是等边△ＡＢＣ内一点，∠ＢＰＣ＝１５０°，求证：ＰＡ^２＝ＰＢ^２＋ＰＣ^２

　　思路提示：ＢＡ、ＢＰ、ＢＣ有一个共同的端点，且ＢＡ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝６０°，符合鸡爪模型的要素。

　　如图４，将△ＢＰＣ逆时针旋转６０°，得到△ＢＭＡ，则有△ＡＭＢ≌△ＣＰＢ，∠ＢＭＡ＝∠ＢＰＣ＝１５０°，且△ＢＭＰ是等边三角形

∴∠ＢＭＰ＝６０°

∴∠ＡＭＰ

＝∠ＡＭＢ－∠ＢＭＰ

＝１５０°－６０°

＝９０°

∴在Ｒｔ△ＡＭＰ中，由勾股定理　得

ＰＡ^２＝ＰＭ^２＋ＭＡ^２

由△ＡＭＢ≌△ＣＰＢ　知ＭＡ＝ＰＣ　

由△ＢＭＰ是等边三角形　知ＰＭ＝ＰＢ

∴ＰＡ^２＝ＰＢ^２＋ＰＣ^２

　　练习：如图５，点Ｐ是等边△ＡＢＣ内一点，若ＰＡ＝５，ＰＢ＝３，ＰＣ＝４，求证：∠ＢＰＣ＝１５０°

　　思路提示：参考例题，ＢＡ、ＢＰ、ＢＣ构成“鸡爪”，将△ＢＰＣ逆时针旋转６０°

　　例２ 如图６，点P是正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=3∶2∶1，求∠BPC的度数。

　　思路提示：如图7，BA、BP、BC共端点，且BA=BC，∠ABC=90°，符合鸡爪模型的要素。

将△ＡＢＰ绕点Ｂ顺时针旋转９０°，得到△ＣＢＦ。

设ＰＡ＝３ａ，ＰＢ＝２ａ，ＰＣ＝ａ

易知△ＰＢＦ是等腰直角三角形　ＰＢ＝ＦＢ＝２ａ

由勾股定理　得

ＰＦ^２＝ＰＢ^２＋ＦＢ^２＝８ａ^２

又∵ＦＣ＝ＰＡ＝３ａ　　

∴ＦＣ^２＝９ａ^２

ＰＦ^２＋ＰＣ^２＝ＦＣ^２

∴△ＣＰＦ是直角三角形

∴∠ＣＰＦ＝９０°

又∵△ＰＢＦ是等腰直角三角形　∠ＢＰＦ＝４５°

∴∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＦ＋∠ＢＰＦ＝１３５°

练习：如图６，点P是正方形ABCD内一点，∠BPC＝１３５°，那么ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ之间存在怎样的数量关系，猜想并证明。

思路提示：参看例２，ＰＡ^２＝２ＰＢ^２＋ＰＣ^２

总结：“鸡爪模型”运用关键点

（1）、旋转中心是三条线段的公共端点；

（2）、旋转角一定是两条等线段的夹角；

（3）、将两条等线段中的一条与独立线段的端点连接，构成三角形，以三条线段的公共端点为中心，将此三角形旋转，使两条等线段重合；

（4）、旋转后，按手拉手模型连接相应线段的端点。

这期就到这里，朋友们，下期见！！