22年中考压轴探究真题，旋转、手拉手、相似△，最后一问有难度

这是一道22年山东中考的压轴题，探究全等、相似三角形共顶点构成手拉手的各种情形，对于掌握手拉手模型是很有帮助的。

【求解-（1）】

在△BAD和△CAE中，DA=EA，AB=AC

∠DAB=∠DAE-∠BAE=60°-∠BAE=∠BAC-∠BAE=∠EAC

所以△BAD≌△CAE （边角边）

所以BD=CE，命题得证

【求解-（2）】

在△BAD和△EAC中，

DA/AE=√2/2 （等腰直角三角形斜边和直角边之比=√2）

AB/AC=√2/2 （等腰直角三角形斜边和直角边之比=√2）

所以 DA/AE=AB/AC

又∠DAB=∠DAE-∠BAE=45°-∠BAE=∠BAC-∠BAE=∠EAC

所以△BAD∽△CAE （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）

所以BD/CE=AD/AE=√2/2

所以 BD/CE=√2/2

【求解-（3）- ① 】

依题意 AB/BC=AD/DE=3/4，由勾股定理可求得AB/AC=AD/AE=3/5

所以Rt△ADE∽RtABC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）

所以∠DAE=∠BAC, 

在△BAD和△EAC中，

AB/AC=AD/AE=3/5

∠DAB=∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE=∠EAC

所以△BAD∽△CAE （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）

∠DBA=∠ECA

BD/CE=AD/AE=3/5

【求解-（3）- ② 】

在△BCF中，∠BFC=180°-∠DBA-90°-∠BCF

   在【求解-（3）- ① 】中已证得 ∠DBA=∠ECA

所以∠BFC=90°-∠ECA-∠BCF = 90°-∠BCA=∠BAC

在Rt△ABC中，由AB/BC=3/4  ，易求BC/AC=4/5

由正弦函数定义可求得sin∠BFC=BC/AC=4/5

【小结】

等边△、等腰△、相似△共顶点旋转，均可构成手拉手模型，必有全等或相似三角形。