许兴华——函数综合问题的解题技巧（1）

（1）当a=4,b=-2时，求满足f(x)=2^x的x的值；

（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数.

①存在t∈[-1,1]使得不等式f(t²-t)<f(2t²-k)有解,求实数k的取值范围；

【解题分析】（1）由题意可得(2^x+4)/(2^x-2)=2^x，由此可解方程得出x；

（2）由f(x)为奇函数，可得a,b的值，进而得到f(x)的解析式，判断f(x)的单调性，

①由题意可得f(t²-t)<f(2t²-k)，所以t²-t)<2t²-k，由参数分离和二次函数的最值，可得k的范围；

②由条件求得g(x)=2^x+2^-x(x≠0)，运用换元法和基本不等式，计算可得m的最大值.

【解后总结与思考】本题主要是考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式恒成立和有解的条件，考查化简、整理的运算能力，属于中档题.但要求学生的运算要过关。

（1）当x∈[0,1]时，求函数f(x)的值城

（2）若关于x的方程g(x)=t有两个不等根α，β（α<β），求αβ的值；

（3）是否存在实数a，使得对任意m∈[0,1]，关于x的方程

2.【解题分析】（1）首先应该将函数f(x)化简,再根据函数的单调性即可得函数f(x)的值域；

（2）根据g(x)的解析式，将α，β代入化简，即可得到αβ的值.

（3）注意用“换元法”，令p=f(m)，t=g(x)，h(t)=4t²-4at+3a-1，根据m∈[0,1]得出p的取值范围，由题意可得关于t的方程h(t)==p在区间[0，3]有两解t₁，t₂，且t_{1 =}g(x)有两个不等根，t₂ =g(x)只有一个根，列出不等式组得出a的范围，再结合（2）知，x₁x₂x₃的取值范围.

【解后总结与思考】本题主要考查的是利用函数的单调性求函数的值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的基本求法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是一道较难的题目.

3.【解题分析】（1）先求出导函数，令f’(x)=3求得切点坐标后可得切线方程；

（2）求导函数f’(x)，利用导数求出函数的单调区间，得到函数的极值点，依题意结合零点存在性定理，列出不等式求解即可使问题迎刃而解.

(1)判断f(x)在区间(1，+∞)上的单调性，并用定义证明；

(2)记函数h(x)=g(2^x+2)+kx，问：是否存在实数k使得函数h(x)为偶函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

【解题分析】（1）利用函数单调性的定义，最关键的是作差恒等变形；

（2）假设存在这样的k使得函数h(x)为偶函数，则h(x)-h(-x)=0恒成立，于是化简可得结论。

【详解】（1）可知f(x)在区间(1，+∞)上的单调递减．证明如下：

5、【解题分析】（1）由题意可得，ax²-x+1=0的两个实数根为x₁,x₂，设p(x)=ax²-x+1，根据二次函数的图象与性质，列出相应的不等式即可求解；

（2）把F(x)=x可化为log_a(ax²-2x+2)=x，设p(x)=ax²-2x+2=0的两个实数根为m,n，根据x=1是方程g(x)=x的实数根，得出h(n)=aⁿ-(an²-2n+2)=aⁿ>0，结合函数单调性，即可求解．

【详解】（1）因为函数f(x)有两个不动点x₁，x₂，

所以方程f(x)=x，即ax²-2x+2=0的两个实数根为x₁，x₂，