相似何其多,选准才能对
提起相似三角形,几乎所有中考压轴题的几何综合都少不了它,相似三角形到比例线段,再加上一些比例恒等变换,便构成了常规解题思路。在多地中考压轴题里,包含相似三角形的难点主要有两种:一是寻找相似三角形,二是比例线段变换。对于前者,目前网上总结出了不少寻找相似三角形的套路,例如A字型,X型,蝴蝶型,一线三等角……对于后者,比例变换难度已经有所限制,合比分比性质不再作为重要考查点。因此,在几何压轴题中,寻找相似三角形并不是难点,选择合适的相似三角形才是。
题目
在△ABC中,D是CB延长线上一点,∠BAD=∠BAC
(1)如图1,求证:BD:BC=AD:AC;
(2)如图2,在AD上有一点E,∠EBA=∠ACB=120°,若AC=2BC=2,求DE的长;
(3)如图3,若AB=AC=2BC=4,BE⊥AB交AD于点E,直接写出△BDE的面积.
解析:
(1)
方法一:证明比例式,这显然是需要一对相似三角形,因此需要构造这样一对相似三角形,从比例式中的线段,我们至少有两种构造相似三角形的方法。
利用平线构造相似是最直接的方法,毕竟我们在相似三角形第一节便学习了从平行线中寻找相似三角形,如下图:
以左图为例,过点C作CE∥AD,于是可得△ADB∽△ECB,从而得到DB:BC=AD:EC,而其中∠DAB=∠E=∠BAC,知道AC=EC,进行等量代换后得到DB:BC=AD:AC;
方法二:除了相似之外,还有一类可得到比例线段的途径,即面积法,AB是△ABC的角平分线,它将三角形分成两部分,我们分别作出它们的高,如下图:
从图中可和,以DB和BC为底,△ADB与△ABC的高相同,所以S△ADB:S△ABC=DB:BC,而如果以AD和AC为底,它们的高BE=BF,因此S△ADB:S△ABC=AD:AC,等量代换后得到DB:BC=AD:AC;
(2)兵法云:军马未动,粮草先行,对于解题而言,预判条件可能得到的结论,无疑是最有利于思路的形成,因此,读题时尽可能推导出结论,并缓存于大脑中,思路往往一触即发。
首先构造特殊直角三角形,毕竟条件中有两个120°,极易构造出含30°角的直角三角形,过点A作AF⊥BC,交延长线于点F,如下图:
其次来寻找相似三角形,第一对是△ABC∽△AEB,然后注意到∠DBE+∠ABC=60°,同时∠ABC+∠BAC=60°,于是∠DBE=∠BAC=∠BAE,因此第二对是△DBE∽△DAB。好了,我们的准备工作已经就绪。
在Rt△ACF中,∠CAF=30°,AC=2,可求出CF=1,AF=√3,然后在Rt△ABF中,用勾股定理求出AB=√7,至此△ABC三边全部求得,可以使用与它相关的第一对相似三角形了,由△ABC∽△AEB,得AE=7/2,EB=√7/2,这里的计算技巧是△ABC三边之比为1:2:√7,因此△AEB三边之比也是,而AB已知,根据比例关系求,效率更高一些。
现在轮到第二对相似了,AD=DE+7/2,△DBE∽△DAB,可知DE:DB=DB:AD=BE:AB,BE和AB已经求得,所以相似比为1:2,于是设DE=x,则DB=2x,2x:(x+7/2)=1:2,解得x=7/6,即DE=7/6;
(3)尽量利用好已知条件,∠BAC=∠DAB,同时新增加∠ABE=90°,因此过点B向AC作垂线BM,即可得△ABE∽△AMB,同时注意到等腰△ABC,作AH⊥BC和EG⊥BD后,可得第二对相似△BEG∽△ABH,如下图:
准备好这两对相似三角形之后,△DEB的面积就只需要求出DB和EG即可,下面我们来寻找求解方法,如下图:
在Rt△ABH中,BH=1,AB=4,从而求出AH=√15,对于△ABC来讲,用面积法得到AH·BC=AC·BM,于是再求出BM=√15/2,于是可求得AM=7/2,此时△ABM中有两边已知,可以开始使用△ABE∽△AMB了,AB:AM=BE:BM,求出BE=4√15/7,再使用第二对相似△BEG∽△ABH,EG:BH=BE:AB,求出EG=√15/7,BG=15/7,现在只剩下BD未求了,注意到EG∥AH,平行线间的线段对应成比例,因此还可得到DG:DH=EG:AH,不妨设BD=y,于是(y-15/7):(y+1)=1:7,所以y=8/3,现在可求△BED的面积了,结果是4√15/21.
解题反思
在思考几何综合题的过程中,审题过程至关重要,所谓审题,即认真阅读每个条件,同时以这些条件为出发点,尽可能推导出对应结论,这便是准备工作。一般情况下,读完题目后,得出的结论越多,越接近最终结果。许多辅助线的作法,往往就是在读题时,与头脑印象中某种解题经验吻合,从而激发出对应的思维。
在相似三角形综合题中,往往会出现多对相似三角形,而每一对相似三角形,都会得到与结论有关的若干信息,从繁多信息中选取适合的部分,再重新进行组合推导,得出需要的结论,是一项需要长期积累的工作。提高数学解题能力,解题量绝对不能少,否则积累不出相应的质变因子,而仅仅是量的增加,不对解题进行反思,那么这些积累便会成为负担,丝毫起不到引发思维质变的作用。
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