剖析思路的形成，你为什么想到旋转变换？

老师给学生讲题，当然是为了让学生明白，但是这个过程并不十分愉快，一个普通班级的学生，在听完老师讲题之后，完全明白的永远只是部分，即使是这些明白的学生，遇到同类型的问题，也难保不会出现思路受阻。

那么，问题究竟出在何处？是否有办法让老师的讲题能够真正让学生理解并掌握？

例题

如图，O是△ABC内一点，∠OBC=60°，∠AOC=120°，OA=OC=√13，OB=1，则AB边的长是______________

解析：

由于图形较为简单，已知条件中含有特殊角，从这些条件出发，先看看有哪些边可以较为容易地求出来，基于这个出发点，观察△OBC，在这个三角形中，两边已知，一角已知，尤其这个角还是特殊角，极容易构造出含30°角的直角三角形，因此不妨先过点O向BC作垂线，如下图：

左边的△BOE中，可求出BE=1/2，OE=√3/2，于是在右边的△COE中，利用勾股定理可求出CE=7/2，于是BC=4.

此时一般都会遇到障碍，注意OA与OC这一对相等的边，它们的夹角为120°，可将OA看作是由OC绕点O逆时针旋转120°得到，而OC所在的△BOC三边已知，能否将整个△BOC也绕O点旋转120°呢？如下图：

将点B绕点O逆时针旋转120°得到点D，连接BD，OD，AD，显然△BOC≌△DOA，∠ADO=∠OBC=60°，而△BOD是一个顶角为120°的等腰三角形，于是它的底角∠ODB=30°，正好得到∠ADB=90°，于是在Rt△ABD中，可设法求出AB的长。由旋转得到BC=DA=4，而含120°顶角的等腰三角形，底边是腰长的√3倍，于是BD=√3，由勾股定理求得AB=√19.

既然在刚才思考过程中，涉及到了旋转，那么，一定是将OC旋转至OA吗？未必，我们也可以将OA旋转至OC，那么相应的将△AOB也旋转过来，如下图：

只不过换了个方向，解法与上述方法完全一致。

解题反思

在这道题目中，作为老师，在解题过程中，想到旋转是很自然的，毕竟积累的解题经验较多，题目条件也比较明显，容易触发旋转思路，例如120°角的两边相等，即等腰三角形，事实上，以等腰三角形为基础的旋转变换非常多，也就是说在平时完成类似旋转构造全等三角形之后，适时进行课堂小结，将等腰三角形和旋转变换联系起来，并在学生脑海中留下印象。

印象如何能变成后来的思路？或许变式训练是个不错的方法，我们追求趁热打铁，是没错的，但这股热，不能凉，在作业布置时，不能被章节内容限制，以旋转变换为例，在八年级学习过之后，后续所有作业中，不定时出现它的身影，学生才不会因为长久不使用而遗忘。

但是，随之而来的另一个问题就是，在数学中，方法众多，如果每种方法都要这样留下“后遗症”，那作业的量也实在太大。解决的办法就是对学生掌握程度进行检测，一段时间过后，依然在变式训练中有效应用该方法的学生，可判定为已掌握，那么在以后他的作业中，便不会再出现同类试题。

这个任务显然只能是由教师批改作业完成，所以批改作业时，除了打勾叉之外，要对学生是否掌握某种方法进行判断。在未来，作业的个性化是一种趋势，作业布置分层将会更精准，最佳模式就是每个学生的作业都不同，这在某些学习类app中已经实现了，技术并不困难，难在观念更新。

我们通常将解题思路形容为一张大网，结论便是鱼，能否捉到鱼，取决于这张网有没有漏洞，以及撒网的方向是否正确。茫茫大海之上，在哪撒网，怎么想到在这里撒，是捉到鱼的关键因素。