公开的圆和隐藏的圆，一起结合才能解决这道难题

图1是一道全国数学竞赛中的题目：

图1

题目给定的条件很容易让人联想到切割线定理，而PC的存在可能会把一些同学引导向相交弦定理，按这样的思路走下去很容易走进死胡同里。

当然，这道题还是需要应用到切割线定理的，PT^2 = PA·PB这个论断还是本题论证的万里长征第一步。第二步是需要发现题目中暗藏的一个圆。实际上PS、PT与圆O相切，就隐藏了一个由PSTO内接的一个圆，如图2所示：

图2：隐藏圆的发现

发现这个隐藏圆后，我们可以进一步发现，AB中点D也在这个圆上。并且可以发现三角形PCT与三角形PTD是相似的，这样，我们就建立了PC、PD与PT的联系。如图3所示：

图3：建立PC、PD与PT的联系

由于PC·PＤ与PA·PB均等于PT的平方，这样我们就把PC·PＤ与PA·PB联系在一个等式里了，再通过PD的等量变换，最终得到了我们要证明的结论。如图４所示：

图４：得到结论