No.203 这样讲电容器储能公式，连隔壁小孩都懂了！

在No.202中，我们提到了电容器的储能公式  。虽然该公式在高考中并不要求，但其所应用的物理思想和方法，却并未超出高考范围！

恰好也有朋友后台留言提到这个公式。今天这期，我们就来简单看看此公式的推导。

没错，今天我们依然用类比的方法，认识平行板电容器的储能公式。今天类比的是弹簧的弹性势能。

从原理角度类比

无论是弹簧弹力，还是静电场力，均为保守力，均有相应的势能与其对应，也均满足功能关系  即克服多少保守力做功，则增加多少相应的势能。

弹簧伸长或者压缩，均在克服弹簧弹力做功，弹性势能增大；同理，若搬运电荷的过程中，克服静电场力的作用，则相应的电势能增加。

对应上图的平行板电容器，在未充电前，两极板均不带电。我们可以把充电过程看做，将下极板上的  不断得搬运到上极板，而不断消耗电源电能的过程。

随着过程的进行，在两极板间形成如图电场，阻碍电荷的继续搬运，此时搬运电荷要克服静电场力做功。从而完成了能量的转化过程。

从做功角度类比

弹簧随着长度的伸长或者压缩，由胡克定律  易得，弹力的做功为变力做功。

而电容器在极板搬运电荷的过程中，随着两极板上电荷的不断积累，内部场强逐渐增大， 每次搬运  所克服的静电场力也增大。所以静电场力做功也是变力做功。

以弹簧弹力做功为例，我们可以先对某一小段的元功进行研究。假设某时刻，弹簧的形变量为  ，形变量即将改变  。则这段过程内，弹力所做的元功为：

 其中弹力是关于形变量  的函数。

同理，对于变化的静电力做功，我们也可以先研究元功的表达式。假设某时刻，极板的带电量为  ，此时板间电压与带电量满足关系 ： 其中，电压是关于  的函数。则元功可以表示为： 若弹簧的形变量从0增加到  ，则此过程中克服弹力做功为：  同理，电容器带电量从0增加到  ，此过程中克服静电力做功为：  所以，如果取弹簧原长时，弹性势能为0，易得弹簧弹性势能的表达式为：  其中  为弹簧的形变量。

同理可得，电容器的储能公式为：  又由  ，还经常可以把上式写为：  

从运算角度类比

从上面弹簧元功和静电力元功的表达式，我们可以看到其表达式的形式是一样的，一些物理量之间有如下对应关系：

由此，我们一进步体会到了，通过类比的方法，“方程一样，则解一样的原则”。在已知弹簧弹性势能表达式的前提下，可以直接类比写出电容器储能公式。

当然，对于线性变力做功问题，我们还可以使用示功图的方法进行相关求解，对于弹簧：

所围蓝色三角形面积即为做功，也为弹性势能的大小。

同理，对于电容器：

所围红色三角形面积即为做功，也为电容器储存能量大小。