在许多个不同版本的爱因斯坦传记中，都认为广义相对论是爱因斯坦在1915年提出的，这个理论似乎在提出时就是完全成熟的状态，给人的感觉很是神奇，好像爱因斯坦没有犯任何错误就发现了这一伟大的理论。过去几十年来，一些专门研究爱因斯坦极其科学成就的研究者发现，在1912年至1915年之间，爱因斯坦有过很多次失误，创建广义相对论步履维艰，曾经一度也遇到难以突破的瓶颈，尤其是在寻找合适的数学工具用以描述时空的弯曲这方面。
黎曼几何:广义相对论的数学基础
当爱因斯坦设想时空的弯曲就如同可以伸展和弯曲的布匹相类似，他发现自己必须要学习和了解与曲面相关的数学知识。但爱因斯坦很快发现，自己陷入了数学的泥沼，每走一步都举步维艰，找不到合适的数学工具来分析自己设想的引力的新图景。事实上，爱因斯坦曾经极不喜欢数学，并抱怨数学是“花哨的学问”，但现在，他却不得不为当年在瑞士联邦技术大学逃数学课而付出代价。
情急之下，爱因斯坦转而向一位数学家朋友马塞尔·格罗斯曼求助，他直言：“格罗斯曼，你必须帮帮我，不然我就要疯掉了！”爱因斯坦后来承认，那可能是他一辈子受过的最大的折磨，他对数学越来越崇敬，原本认为“花哨”的东西如今却妙不可言。格罗斯曼没有让爱因斯坦失望，他通过检索数学文献发现，爱因斯坦所需要的数学知识其实在瑞士联邦技术大学确实讲授过，那就是波恩哈德·黎曼于1854年所创立的非欧几何。对于爱因斯坦来说，这实在很讽刺！
在黎曼之前，数学是建立在欧氏几何基础之上，欧氏几何是一种平面几何，它有几个重要的特性，比如三角形的内角和为180度、两条平行线永不相交等等。但后来，由俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶开创了非欧几何，最终由高斯和黎曼、尤其是黎曼完善了非欧几何。非欧几何不是一种曲面几何，曲面上的三角形内角和可能大于或小于180度，这一点与平面几何存在根本性的不同。
非欧几何鼻祖:(从左到右)高斯,罗巴切夫斯基,鲍耶
平面几何只涉及两个维度，而黎曼开创了数学的全新天地——一种适用于任何维度的曲面几何学，而不仅仅是适用于二维或者三维。当爱因斯坦了解了黎曼几何后，他确信这种高等几何能够完美诠释他设想中的弯曲时空造就了引力。现在我们知道，黎曼几何实际就是“微分几何学”，又称为“张量计算”，是可以在任何维度下适用的曲面数学。这种数学语言通过爱因斯坦的大脑，第一次进入了物理学的范畴。
在爱因斯坦之前，曲面几何曾被认为是数学中一个最无用的分支，没有任何实质内容，也不起任何作用。但爱因斯坦意识到黎曼几何是描述引力的最恰当的语言，在广义协变原理的指引下，他在黎曼几何中寻找协变的对象，黎曼几何最终成就了广义相对论。突然间，黎曼几何摇身一变，脱胎换骨，从一个无人问津的分支学科变成了能够诠释宇宙根本性质的最重要的数学语言。
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