天才的推导：你知道牛顿是如何推导出二项式定理的吗？

牛顿是如何推导二项式展开的

牛顿根据英国数学家约翰·沃利斯等前人的工作，知道了如何对整数指数的二项式进行展开:

图一

如下图直观的显示了这些系数有趣的变化过程

图二

牛顿的目标是扩展图一的展开式，使其包含非整数的指数m。接下来，我们可以将系数排列在一个表中，其中空行用于对非整数值m的展开式:

图三

牛顿想要填充这个表中的空单元格。他的推理如下。

对于指数m是整数的情况下：第一列和第二列不难看出。第一列只包含1，第二列m虽线性增加。

图四

现在我们考虑第三列。首先，我们注意到它是一个三角形数(如下图所示)，我们可以通过简单的公式得到:

图五

三角数样式

图六

我们还注意到第m行总是包含(m-1)个角形数。更具体地说：

m=2时：该行包含第一个三角形数

m=3时：该行包含第二个三角形数

m=5时，该行包含第四个三角形数

将(m-1)代入上式得到:

图七

然后我们可以完成第列:得到-1/8，3/8，15/8，35/8，.........

图八

现在，注意，对于前三列，值多项式地增加。

第一列是常数(等于1)

第二列线性增长(等于多项式的次数m)

第三列按照公式7计算得到（二次多项式形式增长）

根据这个模式，牛顿推断第四列应该作为三次多项式增加。由于这个未知多项式在m = 0,1和2时消失，所以它必须有如下形式:

其中常数a可以通过表的第七行得到，根据第七行p(3)=1。因此:

然后我们按照上述原理，填充第四列空的单元格:

牛顿推导的过程现在很清楚了。第五列和第六列对m的依赖关系可以很快得到：

最后我们可以填满整个表:

所以牛顿就得到了一般的二项式定理

上述公式中，其中