假期中，好题仍在：神奇的数学，神奇的“圆”！

    数学是一门奇妙的学科，先看看下面的图案

         这是一棵勾股树，感兴趣的话自己运用勾股定理画画试试吧！

         再看看下面的等式

         数学就是这么神奇！

         数学中，还有很多奇妙的内容。其中几何中关于圆就有很多定理、性质，让我们一起来看看，关于圆的这些好题！

1

选择题

         数学课上，老师让学生用尺规画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（      ）

A．勾股定理

B．直径所对的圆周角是直角

C．勾股定理的逆定理

D．90°的圆周角所对的弦是直径

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【名师指导】    解答这类问题，需要大家熟练掌握垂直平分线、角平分线、垂线等基本图形的作图方法，并熟悉它们的性质.能熟练运用圆周角定理的推论，是正确解答本题的关键.

【思路点拨】    考查尺规作图、圆周角定理的推论.从作图过程可以看出，首先作了线段AB的垂直平分线，然后以线段AB的中点为圆心，以AB为直径作圆，再以点B为圆心，以a为半径画弧，与前圆交于点C.连接AC，即作出了Rt△ABC.∵AB为直径，∴∠ACB=90°.

【参考答案】    B

2

解答题

1.如下图,AC与BD是⊙Ⅰ的直径,AD=4,CD=10,点G是AB上一动点,点E、F、H分别是DC、DG、CG的中点.

(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;

(2)填空：

①当AG=__________时,四边形EFGH是菱形;

②当AG=__________时,四边形EFGH是矩形.

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【思路点拨】  

 (1)利用三角形的中位线定理与平行四边形的判定定理即可证明四边形EFGH是平行四边形.

(2)易证四边形ABCD是矩形.①当GD=GC时,四边形EFGH是菱形,此时AG=BG=5;②若四边形EFGH是矩形,则∠DGC=90°.利用勾股定理即可求出AG.

【参考答案】  

  (1)证明:在△DCG中，

∵点E、F、H分别是DC、DG、CG的中点,

∴EF∥ CG,HE∥ DG，

∴四边形EFGH是平行四边形.

(2)①5 

②2或8 

解法提示↙

易证四边形ABCD是矩形.

①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，

若要使□EFGH为菱形，则有FG=GH，

∴CG=DG.

由矩形的对称性可知，此时点G为AB的中点，

∴AG=5.

②若四边形EFGH是矩形,则∠DGC=90°.

设AG=x,则BG=10-x，

∴DG²=16 x²,CG²=16 (10-x)²,DC²=100，

在Rt△DCG中，由勾股定理可得，DG² CG²=DC²，

即16 x² 16 (10-x)²=100.

解得x=2或8.

∴AG=2或8.

2.如下图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，O为BC边上一动点，以点O为圆心，OC为半径作半圆与对角线AC和直线BC分别交于点E、G，连接EG.过点E作直线EF交AB边于点F，若EF=AF，求证：直线EF为半圆O的切线；

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【解题思路】    

连接OE.通过证明∠BAC=∠AEF，∠CEO=∠ACB，可得∠AEF ∠CEO=90°，即∠FEO=90°，即可得出直线EF为半圆O的切线.

【参考答案】

（1）连接OE.

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=90°，

∴∠BAC ∠ACB=90°.

∵EF=AF，OE=OC，

∴∠BAC=∠AEF，∠CEO=∠ACB，

∴∠AEF ∠CEO=90°，

∴∠FEO=90°，

∴直线EF为半圆O的切线.

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