数学|九年级期末考前要点梳理

上册知识要点

第一章  特殊的平行四边形

菱形

矩形

正方形

平行四边形之间的关系

练一练

（2016·苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　）

【答案】B

第二章  一元二次方程

概念

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

　　标准形式:ax²+bx+c=0（a≠0）

求解方式

填一填

【温馨提示】解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），但必须熟练掌握，解一元二次方程选择方法的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法

根的判别式及根与系数的关系

概念

对于x的一元二次方程 

的跟的判别式为：

用“△”表示(读做“delta”)，即△= 

 

与根的关系

（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；

（3）当△<>

（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根．

根与系数的关系

在一元二次方程ax²+bx+c=0中（a≠0,a,b,c皆为常数）
两根x1,x2与系数的关系：x1+x2=－b/a，x1x2=c/a

前提条件：判别式△=b²-4ac大于等于0

应用

①列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答

②两类常见问题：平均增长率（下降率）问题；利润问题.

练一练

方程（x-3）²=x-3 的根是                          .

【答案】x=3或x=4

第三章  概率的进一步认识

事件的分类

事件的分类：确定事件和随机事件

确定事件：必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，概率为1.

不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，概率为0.

随机事件：在一定条件下，有可能发生也有可能不发生的事件，概率在0~1之间.

概率的计算

概率公式

一般地，如果再一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n

求概率的方法

（1）直接公式法：P（A）=m/n，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数.

（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.

（3）画树状图法：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.

（4）利用频率估计概率：在大量重复试验中，事件A出现的频率为m/n，我们可以估计A发生的概率为m/n.

练一练

（2016大庆）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个、一个白球的概率为（    ）

【答案】C

第四章  图形的相似

成比例线段

比例线段：

比例的性质：基本性质；等比性质

相似多边形

判定：各角对应相等、各边对应成比例

性质：对应角相等；对应线段成比例，都等于相似比

相似三角形

应用

黄金分割

定义：将一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值。其比值是（√5-1）：2

利用相似三角形测高：利用阳光下的影子；利用标杆；利用镜子的反射

图形的位似：位似图形的作图；位似图形的坐标变换。

练一练

如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下得影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为                   m.

【答案】3

第五章  投影与视图

投影

物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.  影子所在的平面成为投影面.

中心投影

定义：从同一点发出的光线所形成的投影成为中心投影

特点：投影线相交于一点

平行投影

定义：由平行光线形成的投影称为平行投影

正投影：若平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影

特点：投影线互相平行　

视图

用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图

定义：主视图：从正面得到的视图

　　　左视图：从左面得到的视图

　　　俯视图：从上面得到的视图　

三视图投影规律

主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽　

画法

主视图与俯视图要长对正，主视图与左视图要高平齐，左视图与俯视图要宽相等，看得见部分的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线。

练一练

【答案】D

第六章  反比例函数

定义

一般地，两个变量x，y的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为0.

图像与性质

k值得几何意义

填一填

解析式的确定

方法：待定系数法

练一练

【答案】C

【答案】D

下册知识要点

第一章  直角三角形的边角关系

【要点梳理】

锐角三角函数定义

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则

正弦：

余弦：

正切：

拓展知识

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①sin²A+sin²B=1（或sin²A+cos²A=1）；

②

【注意】锐角三角函数就是直角三角形中的边角关系。

特殊角的三角函数值

在0°~90°之间，锐角三角函数值的增减变化

①正弦值随角度的增大而增大

②余弦值随角度的增大而减小

③正切值随角度的增大而增大

锐角三角函数的应用

1.解直角三角形（知二求三）

在解直角三角形的过程中，往往要用到“角的关系：两锐角互余”，以及“边的关系：勾股定理”。

2.实际应用

①相关概念

a.仰角、俯角：如图，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角

b.坡度（坡比）、坡角：如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比），用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫做坡角，

.

c.方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度，如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向（或西北方向）

②解题步骤

a.根据实际问题，构造直角三角形，建立三角函数模型；

b.利用三角函数的定义或定义的变形表示题目中相关的量；

c.找出各量之间的关系；

d.利用已知量与未知量的关系求出未知量.

【注意】当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系的问题加以解决.

【典例专练】

1.如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=（     ）

2. 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（     ）

3. 如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 （     ）

第二章   二次函数

【要点梳理】

二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质

二次函数图象与系数的关系

1. a决定抛物线的开口方向及大小

2. a、b共同决定抛物线对称轴

的位置 

3. c决定抛物线与y轴交点的位置

4. b²-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数

二次函数解析式的三种形式

1.一般式：y=ax²+bx+c

2.顶点式：y=a(x-h)²+k

3.交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁ 、x₂是抛物线与x轴两个交点的横坐标

二次函数平移规律

左加右减，上加下减

二次函数应用

1.面积问题

2.利润问题

【典例专练】

1. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） 

　A.c>-1               B.b>0    

   C.2a+b≠0          D.9a+c>3b

2. 已知二次函数y=x²+（m-1）x+1.当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（     ）

　

3. 将抛物线y=x²-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（      ）

　

　

4. 如图，已知平面 直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x²+bx+c的图象过点A（4， 0）、B（1，3）．

（1）求抛物线的表达式，并写出抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）抛物线的对称轴为直线 l ，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点 P关于直线l的对称点为E，点E关于x轴的对称点为F，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20, 求m、n的值.

第三章   圆

【要点梳理】

垂径定理及其推论

1. 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧

2. 推论

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ；

④圆的两条平行弦所夹的弧相等.

圆周角定理及其推论

1. 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；

2. 推论

①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；

③圆内接四边形的对角互补.

切线的性质与判定

1. 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.

2. 切线的判定：

①和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线

②圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线

③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

3. 切线长及其定理

①切线长：经过圆外一点作圆的一条切线，这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长.

②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

扇形面积、弧长的有关计算

1. 扇形面积公式：

（n为扇形圆心角度数，r为扇形半径，l为扇形弧长）

2. 弧长公式：

【典例专练】

1. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（     ）

2. 如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（      ）

    A.40°     B.60°     C.70°      D.80°

3. 如图，⊙O的半径是2.直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是             .

 

 4. 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.

（1）求证：DC=DE；

（2）若

，AB=3，求BD的长.

 

【答案】

第一章

1.D  2.C  3.B

第二章

1.D  2.D  3.B

4.（1）y=-x²+4x，对称轴直线x=2，顶点坐标（2,4）

（2）m=5,n=-5

第三章 

1.C   2.C   3.

4.（1）思路点拨：连接OC，则∠OCD=90°，根据角度之间的等量代换得出∠DCE=∠E，即可证DC=DE.

（2）BD=1.