一、函数对称问题
问题1:如果对函数定义域内的任意一个x值,都有,则函数的图象关于直线对称。
证明:设P(m,n)为函数图象上任一点,则点P关于直线的对称点为。由,显然点也在函数上,可知函数的图象关于直线对称。
问题2:如果a、b是实数,则函数的图象与函数的图象关于直线对称。
证明:设P(m,n)为函数图象上任一点,则。点P(m,n)关于直线的对称点为,由,说明点P在函数的图象上。反之亦然,所以函数的图象与函数的图象关于直线对称。
总结:问题1是一个函数图象自身的对称关系,而问题2是两个函数图象之间的对称关系。问题1可理解为自变量相加除以2(即),问题2可理解为自变量相等解方程(即由,得)。
二、函数奇偶关系问题
问题3:如果函数(a为不等于0的常数)是奇函数,则对定义域内任意x值,都有。
如果函数(a为不等于0的常数)是偶函数,则对定义域内任意x值,都有。
证明:设P(m,n)为函数图象上任一点,则,点P关于原点O的对称点为。因为函数是奇函数,所以点也在函数的图象上,于是,从而有。由点P的任意性,可知对定义域内任意x值,都有。
同理可证明函数(a为不等于0的常数)是偶函数,则对定义域内任意x值,都有。
总结:函数的奇偶性是专指定义域内的自变量x而言,所以同学们很容易得到或,这明显是错误的,大家要注意。
三、反函数问题
问题4:若函数存在反函数,则。
问题5:若函数存在反函数,则。
证明:对于问题4,设P(m,n)为函数图象上任一点,则。由函数存在反函数,得,于是。由点P(m,n)的任意性可知,对于定义域内的任意x,都有。
对于问题5,同理可以证明函数存在反函数,则。
总结:对于问题4与问题5,同学们往往会误认为“”。事实上,对于问题4,中的x是原函数定义域中的x,而对于问题5,中的x是原函数值域中的x,在严格意义下不一定等于。例如对于函数,有,若取,显然有,而此时无意义。
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