自《理论物理学的第一堂课》和《第二堂课(上)：进入奇异的量子世界》更新后，不时的有读者催更。今天我们将进入第三堂课：统计力学。由于涉及到一些不那么基本的数学概念，日后将不再「原理」更新后几堂课。如果你对电动力学、粒子物理学、广义相对论和宇宙学感兴趣，可扫文末二维码关注「新原理研究所（id：newprincipia）」，持续关注后几堂课的更新。
今天，我们将探讨“熵”和“热力学第二定律”。这是非常重要的概念，因为这将解决关于我们生活的世界的深刻问题，例如为什么我们只能记住过去，而不是未来。它还跟信息理论、计算、甚至是黑洞物理学有关。在今天探索的过程中，我们还将遇到科学中最重要的公式之一。
多而不同
假设你已经掌握了理论物理学的一切——你知道所有的自然基本定律、基本粒子的性质以及粒子之间的相互作用。现在问题是，你要如何将这些知识转化为对我们周围世界的理解？
让我们来思考以下这杯水：
在这杯水中，包含了大约1024个原子。事实上，任何宏观物体都包含着如此巨大的粒子数量。那么，我们要如何描述这样的系统呢?
写下所有1024个粒子的运动方程，并对它们求解？——这种方法肯定是不切实际的。即使我们有能力处理这样的计算量，我们又如何处理计算结果？要知道我们对单个粒子的位置并不感兴趣。我们想要知道的是与宏观物体有关的更基本问题的答案。它是湿的？是冷的？是什么颜色？如果加热它会发生什么？如何从物理学的基本定律来回答这些问题？
统计力学就是一门将微观物理定律转化为对宏观日常世界的描述的艺术。当我们把1024个粒子放在一起时，有趣的事情就发生了。多而不同——有一些关键的概念在基本的物理定律中是看不见的，只有在我们考虑大量的粒子集合时才会出现。温度就是一个简单的例子。这显然不是一个基本的概念——谈论单个电子的温度毫无意义。但在我们生活的世界，温度扮演着重要的角色。时间是另一个例子：过去与未来的区别是什么？让我们从这里开始今天的探索之旅。
未来与过去的区别
自然界中充满了不可逆转的现象：它们易于发生，却又不可能以相反的顺序发生。例如掉在地上的鸡蛋会破碎，但不太可能会“破蛋重圆”。事情总是朝着一个方向发展，而不是另一个方向。我们记得过去，却不记得未来。
这种不可逆性和时间之箭究竟从何而来？它被谱写在了微观物理定律中吗？微观定律能区分过去和未来吗？问题听上去并不简单。事实上，物理学的基本定律是完全可逆的。这里举一个大家都熟悉的例子，牛顿定律在描述现实世界方面异常成功，它解释了为何苹果会从树上落向地面，以及为何地球会围绕太阳运行。但是，牛顿定律存在一个奇怪的问题，那就是在这一体系下，这些事件在逆转的时间内运转也一样成立。因为牛顿方程的任何解都可以反推，并仍得到一个解。换句话说，无论行星是绕着恒星朝一个方向还是另一个方向转，都只是涉及到初速度的问题。万有引力定律是时间可逆的。类似地，电和磁的定律也是时间可逆的。所有的与创造我们日常体验相关的基本定律皆是如此。物理学定律似乎根本就不在乎时间是向前流逝还是倒流回去。
那么，过去和未来的区别究竟在哪里？可逆的微观定律如何导致明显不可逆的宏观行为？要理解这一点，我们必须引入概念——熵（Entropy）。
熵和第二定律
事情总是变得更糟
我们从熵的模糊定义开始，它表示了系统的无序量。粗略地说，我们所说的“有序”是一种有目的安排态，而“无序”是一种随机态。例如，将冰块放入一杯水中。这就形成了一种高度有序的，或者说低熵的结构：一个角落里是冰，其他的是水。让冰块在角落中自身自灭，它会慢慢地融化，最终冰分子会和水混合：
最终的混合态就没那么有序了，或者说处于高熵的状态。
同样地，咖啡和牛奶的自然倾向是混合，而不是分离：
热力学第二定律总结了这些生活中的基本事实：
一个孤立系统中的熵总是在增加。
对于19世纪末的物理学家而言，第二定律是个严重的悖论。他们知道微观物理定律是时间可逆的。所以如果熵既然可以增加，那么根据物理定律它也必须可以减少。但是，生活经验却告诉并非如此。熵总是增加的。
概率
就在这时，天才路德维希·玻尔兹曼登场了。他意识到，第二定律与牛顿的引力定律或者法拉第的感应定律并不一样——它是一个概率性的定律！试想一下，当你将一枚硬币抛一百万次的时候，你会得到一百万个“正”吗？——显然不太会。但这可能吗？——是有可能的，它并没有违反任何物理定律。可能性大吗？——非常小。而这正是玻尔兹曼对第二定律的阐述：与其说熵不会减少，不如说
熵可能不会减少。
换句话说，熵可以减少，只是非常不可能。这就是1个（或者几个）和1024个的区别再次重要的地方。少量的粒子相比于1024个粒子更有可能自发的做一些疯狂的事情。第二定律出现在大量的粒子中。
这也意味着如果你等待的时间足够长，你最终会看到熵减少：
在偶然的机会下，粒子和尘埃会聚集在一起，形成一个完美组合的炸弹。但是，这需要多长时间呢？很长很长的一段时间。比连续抛一百万个正面的时间还要长得多，甚至比宇宙的年龄还要长得多。
想象一下，往一杯水中滴了一滴黑墨水。墨水扩散开来，最终使水变成灰色。一杯灰色的水会再次变得清澈，并产生一小滴墨水吗？这并非不可能，但也不太可能。
在你身处的房间中，空气均匀地分布着。有没有可能所有的空气分子都在房间的一个角落里聚集起来，而剩下的都是真空吗？这也并非不可能，但也不太可能会发生。
计数
到这里，一切听起来都可能有点哲学意味，现在就让我们把事情变得更加精确一些。首先我们要给出三个相关概念的定义：微观状态、宏观状态和统计熵。
作为一个具体的例子，考虑一个盒子里的N个粒子的集合。如果一个粒子在盒子的左半边，我们说它处于态L；如果在右半边，我们说它在态R。
我们通过列出每个粒子的状态（无论是L还是R）来指定系统的微观状态。例如，N=10个粒子，几个可能的微观状态是：
可能的微观状态的总数为2N（每个粒子有两种可能）。对于N=1024个粒子，这将是一个非常大的数字。幸运的是，我们从来不需要列出所有可能的微观状态。所有的宏观性质只取决于左右粒子的相对数量，而不取决于哪个粒子在左、哪个粒子在右这种细节。
现在，我们定义系统的宏观状态：
那么在一个给定的宏观状态中，有多少个微观状态？我们还以N = 10为例。对于n = 10和n =−10的情况，它们各自只对应一个唯一的微观状态——粒子全在左边和粒子全在右边。对于n=8（9个在左边，1个在右边），就有10种方式将这10个粒子的一个粒子放在右边，其他9个放左边，所以我们得到10个可能的微观状态。对于n = 0（左和右的数量相等），我们得到252个微观状态。每个宏观状态的微观状态数的完整分布如下图所示:
现在，设W(n)是使N个粒子在左边有NL个粒子，在右边有NR个粒子的方法数。我们可以得到：
□ 符号“！”代表阶乘，比如4!=4×3×2×1。
要对非常大的N求阶乘，你的计算器可能会想罢工。此时，正态分布是一个很好的近似
到目前为止，我们只涉及到了基本的组合学。在此基础上，我们补充了统计物理学的基本假设：
每个微观状态都有相同的可能。
因此，由更多微观状态组成的宏观状态更有可能出现。接着，玻尔兹曼将特定宏观状态的熵定义为微观状态数的对数
其中k=1.38 × 10-23J K-1是玻尔兹曼常数。玻尔兹曼常数的作用就是使单位正确。这个方程无疑是所有科学中最重要的方程之一，与牛顿的F=ma和爱因斯坦的E=mc²平起平坐。它连接了原子的微观世界（W）和我们观察到的宏观世界（S）。而这正是我们所寻找的！
根据统计力学的基本假设（每个微观状态都具有相同的可能性），我们期待系统自然地向与大量微观状态对应的宏观状态发展，因此拥有更大的熵
此时，我们已越来越接近于对第二定律的微观理解。
时间的箭头
有了这个视角，我们现在回到一个问题：由许多粒子组成的系统的宏观特征，是如何随着单个粒子的运动结果而演化的？
现在，将一个盒子用隔板分成相等的两格，隔板上有一个洞。气体分子可以在盒子的内侧反弹，且通常会从中间的隔板反弹，但每隔一段时间它们就会其中的一格溜到另一格。例如，我们可以想象，在1000次分子与中间隔板的作用中，995次会从隔板上弹回，还有5次它们穿过了洞并跑到了另一格。所以，每一秒钟，在左边格子的每个分子都有99.5%的机会停留在这一格，0.5%的机会跑到另一格，右边格子中的分子也有着相同的经历。
这个规则是完美地诠释了时间反演不变性——如果你制作了一个视频，来显示一个遵循该规则的粒子的运动，你就不能分辨它是在时间的方向上朝前还是向后移动。在单个粒子的层面上，我们无法区分过去和未来。
然而，让我们从一个更宏观的角度来看这个演变过程：
盒子里有N = 2000个分子，从时间t = 1开始，左边有1600个分子右边只有400个。接着会发生什么并不奇怪：由于左边的分子更多，所以从左到右的分子总数通常会大于从右到左的分子总数。50秒后，数字开始趋于相等，200秒后，分布基本相等。这个盒子清楚地显示了一个时间箭头。这和冰块融化或者牛奶在咖啡中扩散是完全一样的。
很容易可以看出，这与第二定律是一致的。运用上述提到的W(n)和S的两个公式，我们可以在任何时刻将熵与系统联系起来。熵的演化图看起来就像这样：
熵与信息
麦克斯韦妖
1871年，麦克斯韦提出了一个著名的思想实验来挑战第二定律。
这个思想实验的装置和之前一样：一盒气体被隔板一分为二。然而，这一次，洞口处有一扇可控制的小门，可以在无需消耗明显能量的情况下被打开和关闭。盒子的每一边都包含有相同平均速度（即相同速度）的等量分子。我们可以把分子分为两类：移动速度比平均速度快的分子，我们称它们为红色分子；移动速度比平均速度慢的称为蓝色分子。一开始，气体是完全混合的（两边红色和蓝色的数量相等，即最大熵）。在门上坐着一个恶魔，他盯着从左边来的分子。每当他看到一个快速移动的红色分子靠近洞口时，他就会把门打开。当分子是蓝色的时候，他就紧闭着门。通过这种方式，恶魔“分离”了红色和蓝色的分子，盒子左边变得更冷，右边变得更热。我们可以运用这种温差在不需要输入任何能量的情况下来驱动发动机：一台永动机。显然，这看起来违反了第二定律。究竟发生了什么？
麦克斯韦妖以及它对第二定律的威胁已被争论了一个多世纪。若要拯救第二定律，那么在某个地方必须对熵作出一个补偿性增加。熵能进入的只有一个地方：恶魔。那么恶魔在执行他的恶魔任务时会产生熵吗？答案是肯定的，但是它的运作方式非常巧妙，而且直到麦克斯韦妖被提出的一百多年后，才被西拉德（Leo Szilard）、兰道尔（Rolf Landauer）和贝内特（Charles Bennett）所理解。这个解决方案依赖于统计力学和信息理论之间的一种迷人联系。
西拉德的发动机
1929年，西拉德将恶魔带入了信息时代。特别是，他指出
信息是物理的。
拥有信息使我们可以从一个系统中运用本不可能的方式提取出有用的信息。通过一种新版本的麦克斯韦妖，西拉德得出了精妙的见解：这一次盒子里只有一个分子，盒子的两面内壁被活塞所取代（下图①）。
一个没有洞的隔板被置于盒子的中间。分子在其中的一边，另一边是空的（上图②）。恶魔测量并记录气体分子在隔板的哪一边，从而获取一比特（bit）信息。然后他把活塞推进去，将空的半边合上了（上图③）。
在没有摩擦的情况下，这个过程不需要任何能量。现在请注意信息在此设置中所起到的关键作用。如果恶魔不知道分子在盒子里的哪一半，他就不知道该把哪个活塞推进去。在去除隔板后，分子会与活塞发生碰撞，使一个分子的气体”膨胀”了（上图④）。
通过这种方式，我们可以使用系统来做有用的功（例如通过驱动发动机）。那么，能量从何而来？来自温度为T的环境中的热量Q。
当气体从Vi=V膨胀到Vf=2V时所做的功（W）由热力学的一个标准公式给出：
最后，系统返回到初始状态。
这样，一整个操作周期就完成了。整个过程是可重复的。在循环过程中，每个循环都从周围环境中提取热量并将其转化为有用的功。恶魔似乎创造了第二种永动机。特别是，在循环的每个阶段，熵减少了∆S = ∆Q/T （另一个经典热力学公式）。使用∆Q =−∆W，我们发现
西拉德的恶魔似乎又违反了第二定律。
拯救第二定律
1982年，贝内特观测到西拉德的发动机并不真的是一个闭合循环。虽然在每个循环之后盒子恢复到它最初的状态，但恶魔的心智并没有！他记录了一比特信息。恶魔需要抹去储存在他脑中的信息，才能使这个过程真正循环。然而，兰道尔在1961年就已经指出，信息的删除必然是一个不可逆转的过程。尤其是摧毁一比特的信息至少会将这个世界的熵增加
这就是麦克斯韦妖的现代解法：恶魔必须收集并储存关于分子的信息。如果恶魔的记忆容量有限，他就不能无期限地冷却气体；最终，信息必须被删除。在那一刻，他终于为他实现的冷却支付了熵账单。（如果恶魔没有删除记录，或者我们想在删除之前进行热力学计算，那么我们应该将一些熵与记录的信息联系起来。）
熵与黑洞
信息丢失了吗？
黑洞——宇宙中最奇妙的存在。它的引力是如此的强大，以至于连光进入到它的掌控范围都无法逃脱。黑洞的基本结构包括了隐藏在一个事件视界内的奇点。在事件视界内，逃逸速度（V逃逸）超过了光速（c），因此一旦物体落入就永远被困住了。
每个黑洞都只需要用三个数字描述，即质量、自旋和电荷。无论黑洞是如何形成的，所有的信息都被简化为这三个数字。用一句话可总结为：
黑洞无毛。
这意味着，如果我们把一本书扔进黑洞，它会改变黑洞的质量（可能还有自旋和电荷），但所有关于书的内容的信息看起来都永远消失了。黑洞真的摧毁了信息吗？它们摧毁了熵吗？它们违反了第二定律吗？
黑洞热力学
如果黑洞自身具有熵，并且当物体落入黑洞时熵增加了，那么第二定律就可以被挽救。1973年，普林斯顿大学的研究生贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）认为，这确实是解决方案。事实上，在黑洞的演化和热力学定律之间，存在一些非常有意思的类比。例如热力学第二定律表明，熵永远不会减少；而黑洞的质量也同样（或等同于事件视界的面积A=4πr²∝M²）从未减少。将一个物体扔进黑洞，黑洞就会变大。贝肯斯坦认为，这不仅仅是一个简单的类比。他推测，黑洞的熵实际上与它们的大小成正比：
霍金辐射
当霍金听到这样的想法时，他认为这太疯狂了！如果黑洞有熵，也有温度，就可以证明它们必须释放辐射。但是人人都知道——黑洞是黑的！
因此，霍金打算证明贝肯斯坦是错误的，但结果他失败了！相反，他发现的结果相当惊人：黑洞不黑！它们确实会发出辐射，也确实携带着大量的熵。
量子力学是理解这一点的关键：在量子力学中，真空是一个有趣的地方。根据海森堡的不确定性关系，没有什么是完全空的。
相反，粒子和反粒子对可以在真空中自发出现：
然而，它们只是虚粒子，只能在彼此湮灭之前存在一段非常短暂的时间。
如果粒子-反粒子对碰巧在黑洞的事件视界附近产生，故事的走向就会被完全改变。在这种情况下，这一对中的一个可能会坠入黑洞，永远消失。而失去了湮灭伙伴的第二个粒子将变成真实的：
黑洞外的观测者将以霍金辐射的形式探测到这些粒子。
通过分析这一过程，霍金证实了贝肯斯坦的猜测。事实上，他做的远远不止这些。他还推导出了黑洞熵的精确表达式：
公式中的lp是普朗克长度，在这个尺度下，量子力学和引力效应变得同样重要。普朗克长度为：
黑洞熵方程是一个非常重要的公式：它把熵和热力学与量子引力联系了起来。因此，这是关于统一引力和量子力学的最重要的线索。
弦理论中的黑洞
玻尔兹曼熵理论的巨大成功在于，他能够用微观成分的计数来解释可观测的宏观数量——熵。霍金关于黑洞熵的公式似乎在告诉我们，与任何特定的宏观黑洞相对应的微观状态有很多：
这些微观状态是什么？它们在经典引力（黑洞无毛）中并不明显。最终，它们一定是量子引力的态。弦理论在这方面取得了一些进展，弦理论是量子引力的最佳候选理论。1996年，Andy Strominger和Cumrun Vafa从弦理论（弦和高维膜）自由度的微观计数中得到了黑洞熵。他们恰好得到了黑洞熵的方程，包括重要的因子：1/4。
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