今天和大家分享两道初中数学几何题。我将这两道题放在一块,是因为它们是一类题型。在含等腰三角形的图形中,如果普通的方法难以求出结果,通常就需要考虑旋转。这两道题都是通过旋转,构造出直角三角形。但它们又有所不同,一道是通过构造出直角,得出直角三角形;另一道却是构造出符合直角三角形三边关系,得出直出三角形。学习这两道题,对于旋转构造直角会有更全面深入的理解。
如图,AB=AC,∠BAC=120°,∠BDA=60°,BD=5,CD=7,求AD。
出现等腰三角形的几何难题,通常需要将等腰三角形的一边所带的三角形旋转,使这一边与另一边重合,然后构造出新的三角形进行求解。
在本题中,可以将AB所带的△ABD旋转,使AB与AC重合;也可以将AC所带的△ACD旋转,使AC与AB重合,解题思路是一致的。
在这里采用前者,也就是将AB所带的△ABD旋转,使AB与AC重合,进行讲解。
作图方法:将△ABD绕A点旋转,使AB与AC重合,得到△AEC,连接DE,过A点作DE的垂线,交DE于F。
因为旋转,EC=BD=5,AD=AE,∠DAE=∠BAC=120°,∠ADB=∠AEC=60°。
可得∠ADE=∠AED=30°,∠DEC=∠AED+∠AEC=90°.
在直角△DEC中,EC=5,DC=7,运用勾股定理,可求得DE=2√6。
由三线合一,F是DE的中点,DF=√6。
在△ADF中,运用三角函数,可求AE=2√2。
本题中,通过旋转,因为特殊的角,恰好可以构造出一个直角,从而应用勾股定理进行求解。
如图,等腰直角△ABC,AC=BC,点O在△ABC内,AO=11,BO=7,CO=6,求∠BOC。
运用相同的方法,我们可以旋转AB边所带的△ABO,使AB与BC重合;也可以旋转BC边所带的△BOC,使BC与AB重合。
这里采用旋转AB边所带的△ABO,使AB与BC重合进行讲解。
作图方法:将△ABO绕B点旋转,使AB与BC重合,得△BDC,连接DO。
因为旋转,BO=DO=6,DC=AO=11,∠OBD=∠ABC=90°。
易知△DBO是个等腰直角三角形,DO=6√2。
在△DOC中有,DO的平方+CO的平方=DC的平方,所以△DOC是个直角三角形,∠DOC=90°
∠BOC=∠DOC+∠DOB=135°
另外,本题更深一步,可以求出BC的长度。
我们知道,边角边可以确定唯一的三角形,所以BC的长度是确定的。高中会学余弦定理,直接求出。
在初中阶段,可通过构造直角三角形,运用勾股定理求出。
作图方法:过C点作BO的垂线,交BO的延长线于E,运用三角函数,求出OE,EC,然后运用勾股定理,求出BC。
因为本题计算中,根号下面会有根号,不符合初中计算水平,在这里不进行求解,有兴趣的朋友可尝试一下。
今天的分享就到这里,通过两道例题的讲解,我希望大家,遇到含等腰三角形的难题,常规方法解不出来时,要尝试通过旋转的方法来解决问题。
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