风华绝代之蝴蝶定理
1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：
蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。
蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。
这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由。
此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下：
蝴蝶定理解析法证明图示
蝴蝶定理解析法证明
若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的。现以椭圆为例给出证明。
蝴蝶定理解析法证明图示（椭圆）
蝴蝶定理解析法证明（椭圆）
类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线，结论也成立。
若在蝴蝶定理的条件中把中点M改为AB上任一点，结论是：
蝴蝶定理一般性结论
这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA=MB时，MP=MQ。
④式成立的条件是AB是⊙O的弦，M是AB上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立。
蝴蝶定理一般性结论（圆锥曲线）
蝴蝶定理一般性（圆锥曲线）
蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：
矢量法表示蝴蝶定理一般性结论
定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理1证明
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l//AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理2
定理2证明
特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上。
蝴蝶定理的推广
蝴蝶定理的推广
蝴蝶定理十二大推论性质
蝴蝶定理推论性质1
蝴蝶定理推论性质2
蝴蝶定理推论性质3
蝴蝶定理推论性质4
蝴蝶定理推论性质5
蝴蝶定理推论性质6
蝴蝶定理推论性质7
蝴蝶定理推论性质8
蝴蝶定理推论性质9
蝴蝶定理推论性质10
蝴蝶定理推论性质11
蝴蝶定理推论性质12
下面奉献6道调研题，供大家作答。
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