初高中衔接知识专题（六）：无理方程的解法

一、概念引入

1、无理式：像

、

这样根号下有未知数，且开方开不尽的根式称为无理式.

2、无理方程：含有无理式的方程称为无理方程.

二、无理方程的解法

例解方程：

无理方程常见的解法有两种.

第一种是利用“转化与化归” 的数学思想，把无理方程转化成我们以前学过的方程，也就是要把根号给去掉. 要去掉根号，就要用到开方. 怎么样通过开方把根号去掉？

这是我们要着重解决的问题！思路是，让根号单独在等号左端，其它的项都移到等号右端，就可以解决问题了.

解法一：移项，得

两边同乘-1，得

两边同时开平方，得

x²+17=(x²-3)²

即：

x²+17=(x²)²-6x²+9

所以

(x²)²-7x²-8=0

解之得

x²=-1 (舍去)，或x²=8

经检验：原方程的根为

无理方程的第二种方法是利用构造思想和换元思想.

主要是针对根号下的式子，要在根号外部造出一个和根号下的式子一模一样的式子，然后用一个字母替换整个根式.

解法二：

原方程可变为：

即

令

则原方程化为：

t²-t-20=0

解之得：

t=-4(舍去)，或t=5

于是

经检验：原方程的根为

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