一元二次方程的有理根与整数根精选压轴题演练，助战中考

一元二次方程的有理根与整数根：

经典例题：已知关于x的方程(k-1)x²十2k.x +k+3=0.

(1)当原方程有两个不相等的实数根时.求h的取值范围:

(2)当原方程有两个相等的实数根时,求关于y的方程y²+(a-4k)y+a+1=0的整数根(a为正整数).

例题解析：

思路分析

本题的难点在第(2)问，当原方程有两个相等的实数根时,利用判别式可得k的值,因此y2+(a-4k)y+a+1=0中只有未知参数a了.由于该方程无法用因式分解法求解,只能用公式法先求判别式。注意到是求整数根,则y2 +(a -4k)y+a+1=0的判别式的值为完全平方数，设完全平方数为m2 ,再结合a为正整数这个条件,构造一个关于a 和m的方程，求出该方程的整数解,进进而求出方程的整数根。

解后反思 ：

处理一元二次方程的整数根问题有三个思路:一 是利用“十字相乘”法，将含有参数的一元二次方程进行因式分解，直接求出方程的根(方程的根中含有未知参数)，再通过根为整数以及参数为正整数这两个条件确定参数的值;二是在一元二次方 程无法因式分解的条件下，利用判别式大于零，求出未知参数的取值范围，再根据参数也为正整数等条件,求出参数的值;三是在利用方程的判别式大于零仍无法求出参数的条件下，利用判别式为完全平方数的条件,建立关于参数和这个完全平方数的不定方程，通过求解这个不定方程的整数解来确定参数的值。

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