向量积 伪向量

　　向量积 即叉乘

　　2013-12-16 10:29阅读：357

　　向量积，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

　　两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。叉积可以定义为：

X

　　在这里θ表示a和b之间的角度（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而n是一个与a、b所在平面均垂直

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　　的单位矢量。

　　这个定义有个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于a和b：若n满足垂直的条件，那么-n也满足。

　　“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系(i, j, k)的左右手定则。若 (i, j, k)满足右手定则，则(a, b,a×b)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

　　一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，

当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

　　几何意义 叉积的长度 |a × b| 可以解释成以a和b为边的平行四边形的面积。进一步就是说，混合积可以得到以a，b，c为边的平行六面体的体积。

　　代数性质反交换律：

加法的分配律：a × (b c) = a × b a × c 与标量乘法兼容： (ra) × b = a × (rb) = r(a × b)不满足结合律，但满足雅可比(Jacobi)恒等式：a × (b × c) b × (c × a) c × (a × b) = 0分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

　　两个非零向量a和b平行，当且仅当a× b = 0拉格朗日公式 这是一个著名的公式，而且非常有用： a × (b × c) = b（a·c）− c（a·b）,可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

　　这里给出一个和梯度相关的一个情形：

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解

的特殊情形。

　　另一个有用的拉格朗日恒等式是：

。 这是一个在四元数代数中范数乘法

的特殊情形。

　　矩阵形式 给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

　　i × j = k j × k = i k × i = j通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

　　a = a1i a2j a3k = [a1, a2, a3] b = b1i b2j b3k = [b1, b2,b3] 则

　　a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1] 上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1,a2, a3]表示成四元数a1i a2j a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

　　高维情形 七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

　　七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

　　双线性性： x × (ay bz) = ax × y bx × z (ay bz) × x = ay × x bz × x. 反交换律： x × y y × x = 0 同时与x和y垂直： x· (x × y) = y· (x × y) =0 拉格朗日恒等式 |x × y|2 = |x|2 |y|2 − (x·y)2. 不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式： x ×(y × z) y × (z × x) z × (x × y) ≠ 0 应用 另外，在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中，叉积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时，往往可以借助右手定则辅助判断方向。

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