《自然哲学的数学原理》
人类有各种收集爱好，集邮是最普遍的，也有收集各种钱币的，还有集火花的，有收集各种日记本舍不得用的，也有收集垃圾堆得满屋舍不得丢的；有的女人喜欢收集各种漂亮的高跟鞋，有的富豪喜欢收集各种古董汽车，不一而足。歌唱家阎维文喜欢收集名酒，家里的各种名酒满箱满柜，琳琅满目。据说上海的叶中豪老师收集的数学书籍数量之多，无有出其右者。
我也有一个收集爱好，就是收集各种版本的牛顿《自然哲学的数学原理》，但收藏不算丰富，至今已经收集了七个不同版本的《原理》，其中有两种是外文原版的，舶来品，漂洋过海来到我的手上的，最贵的一本接近2000元。以下是我收集的七种版本的《原理》。其中有一本是一位诺贝尔物理奖获得者对于《原理》的现代解读，即《Newton's Principia for the Common Reader》。
图1是王克迪译, 陕西人民出版社《自然哲学之数学原理》，32开本。
图1 王克迪译, 陕西人民出版社版本
图2是王克迪译，北京大学出版社《自然哲学之数学原理》，16开本。
图2 王克迪译, 北京大学出版社版本
图3三是赵振江译，商务印书馆《自然哲学的数学原理》，32开本。
图3 赵振江译, 商务印书馆版本
图四是曾琼瑶等译，凤凰出版传媒集团&江苏人民出版社《自然哲学的数学原理》，大32开本。
图4 曾琼瑶, 王莹, 王美霞译,
凤凰出版传媒集团&江苏人民出版社版本
图5是任海洋译，重庆出版集团&重庆出版社《自然哲学的数学原理》，大32开本。
图5 任海洋译, 重庆出版集团&重庆出版社版本
图6是舶来品，作者是著名印度裔物理学家S. Chandrasekhar的《Newton'sPrincipia for the Common Reader》，由Oxford的Clarendon Press出版，1983年诺贝尔物理学奖获得者Samuel Johnson强力推荐。该书对牛顿的《原理》用现代数学语言进行了全新解读。
中国有很多古籍经典很古奥，不好懂，于是有一些人专门出书对古典进行解释，这些解释称为“注”；后来连“注”也太难懂了，对注又加注，称为“疏”。S. Chandrasekhar的作品可以说是对《原理》的“注”吧。不过，这本书对一般读者来说也太难了，将来也许有“疏”出现。
图6 S. Chandrasekhar, Newton'sPrincipia for the Common Reader,
Clarendon Press, Oxford
图7为《原理》的1846年版本，是舶来品。
图7 Newton's Principia: TheMathematical Principles Of Natural Philosophy (1846),
New-York Edition
可能有人说仅凭封面不足以证明我拥有这些书，因为这些封面网上到处都有，那么我把我的收集成果拍照如下。
图8 书影
在中山大学读大学时，在图书馆看到《原理》的一种很古朴的版本，是商务印书馆郑太朴翻译的版本，大概出版于上世纪三十年代。对这本书简直爱不释手，很想当一回孔乙己，可是到底有贼心没有贼胆，最后还是作罢了。
图9 郑太朴译, 商务印书馆版本
我收集书当然不是附庸风雅装点门面，而是为了阅读和研究。中国的鲁迅，外国的牛顿，这两个人都曾是我的偶像。在我的心目中，牛顿不是人，而是神，牛顿是历史上少有的同时在数学领域和物理领域排名前几位的科学伟人。牛顿用初等几何建立了庞大的经典力学理论体系，《原理》全书没有一个现代数学符号，如微分、积分运算、向量运算等(牛顿时代这些符号还没有建立起来)，可是建立了数不清的各种引理和定理，只用欧式几何和初等代数。但是，牛顿的思想是现代的，是把微积分的思想融入了初等数学方法中。下面举一个例子，即牛顿是如何证明开普勒第二定律的。
开普勒行星运动第二定律，也称等面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过相等的面积，如下图所示。行星之一的地球围绕太阳S做一个椭圆运动，太阳是椭圆的一个焦点。当地球从较远的E点运动到E'点，扫过的面积是不规则扇形SE E'；当地球从较近的F点运动到F'点，扫过的面积是不规则扇形SF F'，开普勒定律断言，如果地球扫过的时间相等(都等于Δt)，那么两个扇形SE E'和SF F'的面积相等。
图10 开普勒第二定律示意图
我们现在看看现代证明方法。设m为地球的质量，r为地球到太阳的距离，θ为地球与太阳连线的夹角。由于万有引力充当向心力，所以由角动量守恒定律得
解得
同时，极坐标形式下，面积微元为
于是可得
即
⑤式两边积分，就得到开普勒第二定律。
牛顿时代没有这些现代运算符号，那么牛顿是怎么证明开普勒第二定律的呢？如图11所示，时间分为相等的段。第一段时间内，地球从A运动到B。在第二段时间，如果没有太阳的引力，地球将运动到c，由惯性定律知AB = Bc，显然ΔSAB与ΔSBc的面积是相等的。由于地球受到太阳引力，引力的作用方向为BS，作用的大小为BV，那么由矢量的平行四边形法则，矢量BV与矢量Bc合成的矢量BC为地球第二段时间的实际运动方向。由于ΔSBC与ΔSBc是等底等高的，所以它们的面积相等，而ΔSAB与ΔSBc的面积是相等的，所以ΔSBC的面积与ΔSAB相等。同样地，地球在第三段时间运动到D点，在第四段时间运动到E点，等等，每一段时间内和太阳连线扫过的面积都相等，且都在同一个平面内。现将相等的时间段趋于无限小，那么地球运动的轨迹就成了曲线，并且太阳的向心力始终将地球从曲线的切线方向拉回，此作用从不间断，因此任意画出的面积SABCDEFGS都与时间间隔成正比。(各种译本都是根据《Principia》直译的，不好理解，这里做了改写。)
图11 牛顿证明开普勒第二定律用图
牛顿利用如上直观描述，实际上也是利用微元法，等价地得到上面的⑤式，但是避免了复杂的数学推导，也无需角动量守恒定律。
上面的描述只需要很少的物理知识，主要在于说明牛顿是如何利用微积分的基本思想，很简单、很直观地证明开普勒第三定律。
如果说上述描述牛顿直觉的例子物理性太强，数学性太弱的话，那么《原理》的Lemma XXVIII就完全是一个数学问题了，最好地证明了牛顿的天才直觉能力和洞察力。该Lemma是这样的：
任何卵形线，用任何直线与之相割，得到的图形面积数值都不能通过有限项数和维数的代数方程确定。
诺贝尔物理奖获得者Samuel Johnson在其所著的《Newton'sPrincipia for the Common Reader》(可以意译为《牛顿“自然哲学的数学原理”现代解读》)中写道：
This lemma is a striking manifestation of Newton’s mathematicalinsight which enabled him, as in this instance to surpass the level ofscientific understanding of his time by two hundred years.(该引理突出表明了牛顿的数学洞察力，实际上超出牛顿时代科学理解水平两百年)。该引理后来引起了大量研究，S. Chandrasekhar在其著作中也花了相当大篇幅(六个pages)进行详细讲解。牛顿的证明非常简短，因为很多事实对于牛顿的天才直觉来说是“理所当然”的，但对于现代读者却很难理解，这实际上是牛顿对阿贝尔积分超越性的现代拓扑学证明。
代数曲线指可以用代数方程表示的曲线，如
等圆锥曲线，或者如
的双纽线，等等。
非代数曲线的例子如摆线
卵形闭曲线是代数可积的，指一条直线ax + by = c与卵形线相截所得的面积S(如图12所示)，可以表示为
其中f(·)表示一个非零多项式。
图12 与卵形线相截的直线
由于S. Chandrasekhar对于《原理》LemmaXXVIII的注解非常详细，我会在以后的文章中详细介绍，受时间和篇幅的限制，今天到此为止。
法国大数学家拉普拉斯曾说过这样一句话：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们所有人的老师！”我们也可以这样说：“读读牛顿，读读牛顿，他是我们所有人的老师！”
联系客服
