——“式与方程”和“正比例、反比例”备课解读与难点透视
贲友林
“式与方程”、“正比例、反比例”都是“数与代数”领域的教学内容。“式与方程”主要学习代数初步知识，包括用字母表示数、简易方程和列方程解决简单的实际问题。“正比例、反比例”是小学最后阶段学习的内容，主要学习比、比例、按比例分配、比例尺、正比例、反比例。这两部分内容是学生学习数学的重要转折点，即从算术的学习转向代数的学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。它们是后续学习数学的重要基础。
一，内容变化解读。
与传统的“代数初步知识”、“比和比例”教学内容相比，《数学课程标准（实验稿）》中的“式与方程”和“正比例、反比例”的内容安排从表面上看，似乎没有大的变化。但是《标准》在这两部分内容的目标定位、具体要求以及相应的教材编写建议方面，有了许多实质性的改变。在目标上更强调以下几点：
1，重视教学内容的思想价值。
在“式与方程”、“正比例、反比例”的研究中，充满着已知与未知、特殊与一般、具体与抽象的对立与统一，充满着运动、变化的思想。以学生所要学习的“正比例”为例，其图像的呈现形式，从表面上看是静止的，但从列表、描点到连线这一过程看，却是运动的、变化的。再进一步考察，画成的图像从表面上看是完整的，其实是局部的、不完整的。因为它还可以延伸，即不断地运动、发展、变化。
在以往的教学中，重视的往往是教学内容本身，就内容教内容，忽视这些内容所包含的重要的数学思想与教育价值，从而使教学如同蜻蜓点水，缺乏深度与后继生长力。我们应充分认识到“式与方程”、“正比例、反比例”这两部分内容所蕴含的数学思想方法及教育价值，不露痕迹地渗透于教学过程中，促进学生对所学知识的理解与掌握，提高认识能力，形成良好的数学素养。如“用字母表示数”，是数学中对学生进行辩证思维教育的开端。列含有字母的式子，可以使学生体会“用字母表示数”能够简洁地表示实际问题中的数量关系，方便地表达一般规律，是对数量关系的概括性表述；而在“求含有字母的式子的值”的学习中，通过将每一个变量取定一个数值代入式子，经运算而获得一个确定的值的过程，使学生体会“对应”的思想，领悟“变化”与“确定”之间的辩证关系。通过对“求含有字母的式子的值”操作过程的描述，即以具体的数值代替字母，可以使学生初步感受“换元”的思想。总之，在用字母表示数的教学中，可以有意识地渗透符号化、对应、换元等思想方法，既加深学生对“用字母表示数”的理解，又促进他们接触、了解代数的研究方法，初步体会相应的数学思想方法的精神实质。再如，认识比例的教学，把图形的扩大、缩小与比例知识的学习联系起来，渗透数形结合的思想，既使“比例”的引入显得比较直观、自然，学生容易理解，也促进学生感受数量关系与空间形式的联系。
2，强调对模式与关系的体会、理解。
方程的学习，以往注重的是有关概念和技能，如什么叫方程，什么叫方程的解，什么叫解方程，方程的解与解方程有什么不同，怎样解方程等。再如列方程解应用题，历来被看作是教学的重点和难点，在教学中，教师往往满足于头头是道地给学生分析等量关系，机械地列出方程，解答问题。这样的教学，学生没有经历数学建模的过程，无法体会方程是现实世界的数学模型，应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。
方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。《标准》强调从“数学建模”的角度开展方程的教学。结合具体的总是情境教学方程的含义，如“用式子表示天平两边物体的质量关系”，让学生通过观察、分析，写出式子，再比较式子的异同，在讨论和交流中，由具体到抽象感受、理解方程的含义。解方程的教学，让学生依据等式的性质对数学模型进行变换，探求方程的解。教学列方程解决简单的实际问题，要求学生在问题情境中，探索、研究、寻求已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，即把日常语言抽象成数学语言（数量关系式），进而转换成符号语言（方程式）。在经历多次这样的活动后，学生将逐步感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力和信心。
函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。正比例、反比例中隐含的数学函数思想，对学生后续学习数学、物理、化学等学科有重要的促进作用。学习正比例、反比例，数学思维方式发生重要转折，即思维从静止走向运动，从离散走向连续，从运算走向关系。以入教学“正比例、反比例”，教师的着力点往往是引导学生判断两种相关联的量是否成比例，是成正比例还是反比例，以及怎样应用比例知识解答应用题。在《标准》中，通过绘图、估计值、找实例交流等不同于以往的教学活动，帮助学生体会两个变量之间相互依存的关系，丰富关于变量的经历，为以后学习函数概念打下基础。
3，注重在具体情境中去体验、理解有关知识。
“式与方程”、“正比例、反比例”的具体教学目标十分强调“在具体情境中”进行教学。这是因为，小学阶段，学生的数学思维从以具体形象思维为主要形式向抽象逻辑思维为主要形式过渡，其抽象逻辑思维在很大程度上仍与感性经验直接相关联。“式与方程”、“正比例、反比例”的内容在表达形式上比较抽象，作为代数、函数学习的启蒙阶段，通过创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，把学习的过程置于一个学生能够体验的环境，从而在直观的感受中，理解字母表达式所反映的等量关系，并会用代数的方式解决一些实际问题，掌握正比例、反比例知识。这正如《标准》所认为的：数学学习“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律”。
如果说数字符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，那么代数式则是对各种数字符号的抽象概括。在认识用字母表示数时，教材一般从学生熟悉的生活中选择一些典型数量关系，先让学生用算式表示问题的结果，再通过改变具体数量，抽象出用字母表示数，写出相应的含有字母的式子。具体情境能激活学生已经积淀的算术层面对数量关系的理解，支撑学生在代数层面对数量关系的理解。既使新知识“含有字母的式子”的学习过程有场景作依托，又使学生在读解式子时便于产生联想并理解和表述，使学生在学习抽象的代数知识中感到言之有物，还能认识到代数的学习可以使我们对数量关系的表达更清晰、简洁。这一数学活动的过程，帮助学生从“算术”走向“代数”，促进学生体验数学的概括性和抽象性，发展符号感。再如，“会用方程表示简单情境中的等量关系”这一目标的重点也是“在具体情境中，用方程建立等量关系”。
4，加强与中学数学的衔接。
以前小学阶段的解方程，其基本依据是加与减、乘与除之间的逆运算关系。中学学习解方程用的是代数的方法。《标准》明确要求：在小学里学习解方程也是利用等式的性质，这样中学学习不再是另起炉灶。小学里解方程的教学，与中学数学教学的衔接，不仅仅表现为解方程方法的一致，更有价值的是：思考问题的方法趋向一致。根据四则运算的互逆关系解方程，属于算术领域的思考方法；用等式性质解方程，属于代数领域的解方程。两者有联系，但后者是前者的发展与提高。这样，在解方程的教学中，学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高。
二，教材梳理。
在不同版本的教材中，这两部分内容的编写有较多的一致性，如，都安排在第二学段，都采用了循序渐进、螺旋上升的编写方式。但具体到哪一册教材安排了哪些内容，不同版本的教材略有不同。由于数学知识前后之间具有系统性、逻辑性，因而各版本教材中具体知识点学习的先后顺序是相同的。
1，遵循知识的形成过程，符合学生认知发展规律。
以苏教版教材为例，对“式与方程”、“正比例、反比例”这两部分具体内容的编排布局作如下的梳理。
“式与方程”——先是学习用字母表示数，为学习方程及其他代数知识奠定基础。用字母表示数，教材先是通过简单的问题情境，让学生理解字母可以表示数，并学习用含有字母的式子表示简单的数量、数量关系的计算公式；再联系一些稍复杂的数学问题，引导学生进一步学习用含有字母的式子表示稍复杂的数量、数量关系和计算公式，接着学习化简形如“ax±bx”这样含有字母的式子，既初步“涉足”代数式运算，又为后继学习了解形如ax±bx=c的方程作准备。到方程部分，教材首先结合具体的情境，引导学生认识等式和方程，了解等式与方程的关系；再探索并理解等式的性质，学习解只有加法或减法、乘法、除法的简单方程；然后学习列方程解决简单的实际问题。在学习只有加、减、乘、除一步计算的方程之后，再由浅入深、由易到难，探讨解稍复杂一些的方程以及解稍复杂一些的实际问题。在解决整数、小数实际问题的基础上，结合分数、百分数的学习，探讨列方程解决分数、百分数的实际应用问题。
“正比例、反比例”——这部分内容在《标准》中仅涉及“按比例分配”、“正比例、反比例”，犹如冰山露出水面之一角。按比例分配的学习前提是认识比，比与分数除法有着较多的联系，因而教材在学生学习了分数除法之后，安排比的认识，探索比的基本性质，并在比的应用（按比例分配）中加深理解比。比的学习又是比例的基础，在学习正比例、反比例之前，教材安排了比例尺的学习。关于比例尺，教材先是通过实际问题认识比例尺，理解比例尺的意义，再让学生探索解决已知比例尺和图上距离，求实际距离的实际问题以及综合应用比例尺和空间与图形的知识解决实际问题。
2，教材对这两部分内容作了早期孕伏。
例如，学习“用字母表示数”，字母并不是一下子很突兀地呈现于学生面前。在此之前，教学加法和乘法的运算定律时，已经引导学生用字母表示各运算定律；在第一学段学习长方形、正方形等平面图形的面积计算时，已经接触了用字母表示各图形的面积计算公式；这些都是学习“用字母表示数”的基础。又如，学生通过前面几个学期“算术”内容的学习，对简单实际问题中的基本数量关系已比较熟悉。以“速度、时间、路程”为例，在以往解决具体问题的过程中，学生初步理解了三者之间的关系，而在学习用字母表示数之后，进行抽象概括，用公式表示，这样对数量关系的认识与理解达到更高的抽象水平。而这些，又是学习方程时建立数学模型的重要知识基础。再如，关于正比例、反比例的教学，教材在此之前也安排了相关的问题设计。如苏教版三年级教材结合乘法、除法的教学，练习中安排了如下习题：
●王老师准备用72元钱去买笔记本。如果买单价是2元的，能买多少本？如果买单价是3元、4元或6元的呢？
| 笔记本的单价 | 2元 | 3元 | 4元 | 6元 |
| 买的本数 |
|
|
|
|
观察上表，你有什么发现？
●小红家养了5匾蚕，平均每匾能收180个蚕茧。你能把下表填写完整吗？
| 匾的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 蚕茧的个数 | 180 |
|
|
|
|
观察上表，你有什么发现？
像这样的练习，学生通过计算、观察、比较，体会数量之间相互依存的关系，为后继学习正、反比例埋下伏笔。
三，教学中值得特别注意的问题。
“式与方程”是代数学习的开端；“正比例、反比例”使学生进入对“关系”的探讨。作为学生进行数学学习的重要转折点，教师在教学中要注意的问题比较多。下面结合一些具体案例作探讨。
1，学习用字母表示数，不能一蹴而就。
用字母表示数是代数学习的首要环节，理解用字母表示数的意义是学习代数的关键，也是在后续学习中运用代数式、方程、不等式、函数进行交流的前提条件。字母表示数的思想，深刻地提示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。学生对用字母表示数的理解，要在经历大量运用字母表示具体情境中数量关系的活动中实现。
英国关于儿童数学概念发展水平的研究表明，学生对字母表示数的理解方式可以概括为六个水平：
（1）一看到字母，就直接赋予它一个数值；（2）对题中的字母视而不见，不理睬，或者承认其存在，但不赋予它任何意义；（3）把代数式中的字母看作具体物体的记号，或直接看作物体；（4）把字母看作特定的未知量，这时字母在儿童心中是某个（具体的）未知数的记号，可以直接参与运算；（5）把字母看作广义的数，这时，在儿童心中字母是数，而且可以取多个值；（6）把字母看作变量，即儿童把字母看作可在一定范围内的变数，两组这种数之间有一种系统的关系。
研究还表明，只有少部分学生把字母看作广义的数，把字母看作变量的就更少了。大多数学生把字母当作具体的对象。正如一位教授所言：“字母表示数”，是一个非常丰富而又“难产”的概念。由此，我们要建立这样的认识：学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是一个漫长的过程，需要经历大量的活动，积累丰富的经验，让学生在具体情境中反复体会用字母表示数的意义。在小学，学生对代数知识的认识非常肤浅。例如，许多学生认为2x=9与2y=9的意义不同。我们要注意纠正学生在学习中形成的不恰当概念。在教学时，从学生熟悉的生活中选择一些典型的数量关系，引导学生用字母表示数。具体说来，要抓住三个环节：如何引入用字母表示数；怎样引导学生理解含有字母的式子不仅表示数，还表示数量关系；注意让学生体会用字母表示数的好处。
案例1：用字母表示数
片段1：创设情境，引入用字母表示数。
课件呈现学生分小组用小棒摆三角形的场景。场景1：一组学生摆了1个三角形。场景2：一组学生摆了2个三角形。场景3：一组学生摆了3个三角形。场景4：一组学生摆三角形，但所摆的三角形的个数从场景中辨识不出来。
教师依次提问并完成板书：
摆1个三角形用3根小棒；
摆2个三角形用小棒的根数是：2×3；
摆3个三角形用小棒的根数是：3×3；
场景4呈现后，提问：他们摆了多少个三角形？要用几根小棒？
学生做出“摆4个三角形”、“摆5个三角形”等各种猜测后，有学生指出：他们可能摆了任意个三角形。
师：我赞同你的说法。摆任意个三角形，要用多少根小棒？
学生独立思考后全班交流。
生1：可以用？×3，用？代表未知的多少个三角形。
生2：可以用（ ）×3。
生3：可以用X表示，用了X×3根。
师：X表示什么？
生3：X表示三角形的个数。
生4：用字母表示，用a表示。
师：当不知具体有多少个时，通常可以用字母表示数。（板书：用字母表示数）
用字母表示数，看似简单，实则不然。如何引入字母？教师让学生经历从“具体事物——个性化地用符号表示——学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程，在交流、分享的过程中丰富经验。学生用自己的语言进行描述，并在师生互动过程中运用符号将这个关系和规律表示出来。
片段2：感悟含有字母的式子既表示数，又表示数量关系。
师：咱们来玩个猜年龄的游戏。谁悄悄地在我耳边告诉我：今年几岁了？
学生耳语时，教师板书：b b＋22
师：如果b和b+22中有一个是我的岁数，有一个是他的岁数，想一想，究竟哪一个表示我的岁数，哪一个是他的呢？说说你的想法。
结合学生的回答，教师引导学生领会“从式子b+22中可以看出老比这位学生大22岁”。
师：看到这个式子b+22，你能联想到什么呢？比如，他1岁时，我多大？
学生例举回答学生的岁数与老师的岁数之后，教师小结：字母b表示的是一个可以变化的数，但只要b确定了，b+22就是一个确定的数。
师：如果用n表示老师的岁数，这位学生的岁数可以表示为——
生：n-22。
师：从这个式子中，我们可以看出：这位学生比老师——
生：小22岁。
师：对！n-22，既表示这位同学的岁数，又表示了他和我两人岁数之间的关系。
用字母表示数的教学，学生除了经历运用含有字母的式子表示数量关系和变化规律的过程之外，反过来，当他们面对一个含有字母的式子时，要能理解它所代表的实际意义，理解其中所蕴含的规律，并据此进行解释或解决问题。上面的教学，熟悉的具体场景给学生一个从具体到抽象的依据和支柱，使学生既能够从具体情境中抽象出“含有字母的式子”，读懂式子的含义，又能够面对一个含有字母的式子联想情境，阐述基子所表示的意义。通过b和b+22的比较，帮助学生读懂b+22这个含有字母的式子的内涵，领会其同意又表示两个数量之间的关系。
片段3：体会用字母表示数的简洁与便利。
师：我们已学过运算定律。还记得吗？能写出来吗？
学生在表格中填写后，教师指着加法交换律a+b=b+a，提问：a和b分别表示什么？
生：a、b表示两个加数，两个加数交换位置，和不变。
师：为什么不用数表示？
生：简单。
师：用具体的数只能反映具体的例子，有局限性，用字母表示呢？
生：字母可以表示任意一个数，数字只表示具体的一个数。
出示文字：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
师：为什么不用文字表示？
生：用字母表示方便。
生：不啰唆。
师：是的，用字母表示，简明易记，便于应用。
教师充分利用学生已有的知识和经验“旧话重提”，通过对以往已经学过的运用字母表示运算定律进行再认识，促使学生进一步体会字母可以代表任何数，并初步体会用字母表示数的简明与普遍性。
2，认识方程，不能一告了之。
方程思想的首要方面是“能根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。因此，教学应通过设计丰富的情境，让学生经历建立方程模型的过程。在教学认识方程时，教师就要有“建模”意识。
小学生由于认识的局限性，他们往往把运算中的等号看作是“做什么”的标志。如在算式“3+2”的后面写上等号，往往被理解为执行运算的标志。他们通常把等号解释为“答案是……”而实际上，他们应把等号看作是相等和平衡的符号，逐步认识到：这个符号表示一种关系，即等号两边的数量是相等的，也就是在3+2与5之间建立了相等的关系。由此可见，在以往的教学中我们要注意纠正如下“错误”，如，学生学习两步计算的实际问题时，有学生列出这样的算式：3×5=15＋2=17（本），而正确的写法应当是：3×5=15（本），15＋2=17（本），或3×5＋2=17（本）。认识方程以及后续方程的学习，等式是学生需要面临和着力理解的重要代数概念。
案例2：“方程的意义”片段（河南 牛献礼）
场景1：超市举行学习用品大展销。部分商品的标价是：日记本单价5元，文具盒单价10元，足球单价30元，书包、乒乓球拍未标注单价。
师：书包、乒乓球拍的单价不知道，我们可以怎么表示？
生：分别用x、y表示它们的单价。
师：如果拿50元钱去购买商品，用钱的结果会有哪几种不同的情况？（三种情况：有余额、不够、刚好用完。）
师：如果请你自己购物的话，你准备选择什么？把你的购买情况与用钱结果用式子表示出来。
学生独立思考，根据不同买法写出不同的式子：30+10+5×250，30+x=50，10+y＜50等。
场景2：一场篮球比赛，红、蓝两队打得很激烈。组织学生根据场景图中的信息用数学式子表示两队比分关系：26＜33。
师：红队教练叫暂停，作了战术调整，刚上场的一段时间里，只有红队连续得了x分，请你猜一猜，两队的情况会怎样呢？你能用数学式子表示比分可能出现的几种关系吗：26+x＜33，26+x＞33，26+x=33。
场景3：天平上，4块月饼的质量一共是400克。学生用式子表示：4x=400。
场景4：一个水壶里装满了2000毫升水，刚好倒满2个热水瓶和1个200毫升的杯子。学生用式子表示：2x+200=2000。
教师将刚才对场景描述所得到的式子集中呈现。
师：你能把这些式子按照一定的标准进行分类吗？在小组里先说一说，再汇报。
组1：我们把有等号的式子分成一类，有大于号、小于号的式子分成一类。
根据学生的汇报，教师将上述式子作如下整理：
是否是等式
30+10+5×2=50 10+y＜50
30+x=50 26＜33
26+x=33 26+x＜33
4x=400 26+x＞33
2x+200=2000
组2：有的式子中有字母，可分成一类；式子中没有字母的，分成一类。
师：对！字母在这些式子中表示的是——未知数。我们可以把这样的分类方法和刚才一组汇报的分类方法综合起来。
教师对上述整理的式子进行整理。
是否是等式
① ②
30+x=50 10+y＜50
26+x=33 26+x＜33
4x=400 26+x＞33
2x+200=2000
是否含有
未知数 30+10+5×2=50 26＜33
③ ④
师：我们同学通过思考、交流，把这些式子分成了4类。请观察这4类式子，说一说每一类式子有什么特征？
……
师：正如我们同学所描述的像第①类式子这样，含有未知数的等式是方程。
以上教学片段，从生活实际——购物场景中引入，学生有生活的经验，很自然地想到用钱结果会有三种情况，用式子表示，引出等式与不等式；在等式与不等式的比较中建构对“相等关系”、“等式”的理解。接着，在不同的场景中，用数学方式表述现实场景中各种关系，再通过观察、比较、分类、交流等活动，概括方程概念。概念的构建过程，并不是由教师机械地传授乃至直接告诉学生，而是用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程。方程对小学生来说，不仅是形式上的认识，也是感受在解决实际问题过程中建立模型的过程。
3，解方程的教学，不能一仍旧贯。
方程作为一种重要的思想方法，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展数学素养有着重要的意义。与以往教学不同的是，解方程的教学，一是与解决实际问题结合，学生根据实际问题列出方程后，再探索方程的解法。二是学生在解方程的过程中，要探索、理解再应用等式的性质。我们还要认识到：解方程的着眼点不仅仅是去求方程的解的过程，而是在求方程的解的过程中，进行数学模型的变换，进一步体会“相等关系”。
案例3：“利用等式的性质解方程”教学片段
出示场景图：一共有9个皮球，盒内有x个，盒外有3个。
提问：你能根据图列出方程吗？
板书：x+3=9
启发：怎样解这个方程？你有什么办法？把你的办法先和小组里的同学交流。
学生在全班交流后，教师运用课件将天平图如如下动态演示：
结合演示过程，板书解方程的过程。
引导：x=6是不是正确的答案呢？我们可以通过检验来判断……
从以上教学片段可见，“天平”为处理方程提供了一个强有力的智力图像。方程类似于一组天平，方程中的等号表示处于平衡状态，用天平平衡的道理，形象直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解。利用等式性质解方程，重要的是帮助学生建立如下规则：在等式的两边进行相同的运算，那么平衡就得到了维持。解方程的过程，不能演绎为操作、训练解方程技巧的过程，而应当成为深刻理解上述规则的过程。
还要指出的是：在教学解方程的过程中，注意教给学生检验的方法，并在练习中经常提醒学生对解方程过程中的每一步进行检验。
4，比的认识与应用教学，不能一语道破。
掌握比是学习正、反比例的基础。比的概念实质上两个数量进行比较，表示它们之间的倍比关系。任何相关联的两个量的比，都可以抽象为两个数的比。在认识比时，我们应以比的意义的理解为突破口，引导学生进入对两个数关系的探讨。这一过程，不是由由用一两句话去说明，而应由学生在数学活动中充分感悟。
案例4：“比的意义”教学片段（湖北 刘建红）
师：最近，市质监局对市场上甲、乙两种太阳能热水器的质量状况进行抽样调查，调查结果是这样的：
|
| 不合格数 |
| 甲 | 5 |
| 乙 | 2 |
师：如果我想买一台热水器，大家帮我出出主意，应该买哪个系列呢？为什么？
生：应该买乙系列热水器。这是因为5＞2，甲系列不合格数＞乙系列不合格数。
师：你说得有道理。如果抽查的情况是这样的——
|
| 不合格数 | 抽查台数 |
| 甲 | 5 | 150 |
| 乙 | 2 | 50 |
师：你现在的想法是——
生：我觉得应该买甲系列热水器，这是因为甲系列的不合格率为5÷150=，乙系列的不合格率为2÷50=，＞。
师：你很有见解，我先同。这是从甲、乙两大系列不合格台数占抽查台数的比率，比较出两者之间的关系和区别。你知道还可以怎样比吗？
生：还可以通过先求出两大系列不合格台数与抽查台数之间的倍数关系来比：5÷2=2.5；150÷50=3。
生：还可以用150÷5=30，50÷2=25，……
师：请大家观察这些比较的方法，有什么相同的地方？
生：都是用除法来比的。
师：对！都是运用除法比较两个数量之间的关系，这又可以用一种新的表示形式：比。
板书：
5÷150 甲系列不合格台数和抽查台数的比是5比150。
2÷50 乙系列不合格台数和抽查台数的比是2比50。
5÷2 甲系列不合格台数和乙系列不合格台数的比是5比2。
150÷5……
50÷2……
师：请大家观察板书的内容，同桌交流一下，什么叫做比？
……
以上教学在学生已有的认知基础上，通过引导比较两个数量之间的关系，逐步领悟：单纯从绝对量的多少进行比较是不够的，有时有一定的局限性，还要用相对量来比较。再根据知识的连接点和生长点，从“运用除法，比较两个数量之间的关系”转入对“比”的认识，让学生感受到“比是两个数之间关系的一种表示形式”，从而紧紧扣住“比”的实质内涵，帮助学生初步建立比的概念。
按比例分配在实际生活中有着广泛的应用，它的数学意义是应用比的概念把一个数量按照一定的比来进行分配。教学“按比例分配”，以往较多的是关注如何解决问题，甚至是应用不同的解法解决问题，但弱化了对比的意义的理解。下面的教学中，教师注重在解决问题的过程中从理解比的意义出发，既解决了问题，又体会了比的应用，深化了对比的理解。
案例5：“按比例分配”
教师出示规格为5×5的方格图：这节课，先请大家做一个涂色练习。
学生跃跃欲试。
师：请给25个方格分别涂上红色或黄色。
学生面露不解之色，有学生质疑：红颜色涂多少格？黄颜色呢？
师：你能用数学语言间接说明红、黄颜色的方格各涂多少吗？
生：红色的方格占，黄色的方格占。
师：你是应用“分数”进行陈述，如果告诉我们：红色方格个数与黄色方格的比是3：2，你能涂出来吗？怎么想呢？
……
师：从“3：2”中我们知道了什么？
生：红色方格个数与黄色方格个数之间的关系。
师：对！比，提示了两者之间的关系。
从条件缺失到提示3：2及对3：2的追问，教师的着眼点都是让学生感受按比例分配的过程，是理解比的过程，也是体会比的意义与价值的过程，从而将学生的视角引向对“关系”的关注。
5，学习正比例和反比例，不能一概而论。
正比例和反比例是两个变量的考察。与以往相比，无论是内容还是要求，变化都比较大。首先，我们要注意的是：要通过具体问题的讨论，使学生认识成正比例和反比例的量，而不能背诵形式化的结论。
根据正比例、反比例的意义，判断两种相关联的量是不是成正比例，比较抽象，学生不易理解。因此需要创设具体的问题帮助学生认识。例如，一辆汽车在高速公路上行驶，每小时行100千米，2小时行多少千米？3小时、4小时……呢？学生在回答这些问题后，可以让学生把相关的数据填入表格中，然后说一说有什么发现，时间和路程有什么变化，这两种变化着的量之间存在什么关系？接着再举此类问题的实例，让学生充分讨论，教师给予归纳，引出相关概念。
在了解了什么是成正比例、反比例关系的量之后，我们还要注意：对正比例、反比例的教学要求是不同的，《标准》明确指出：通过将正比例关系描绘在有坐标系的方格纸上，加深学生对正比例的认识。
案例6：正比例
教师在课始即明确“以前从数的角度学了正、反比例，今天再从‘形’的角度继续学习正比例的意义”。然后出示两个表格的数据（见下图），请学生自选一个，在方格图上描出各点，再把各点顺次连接起来，看看图像如何，与同伴交流。
例1：
| 时间（小时） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 路程（千米） | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
例2：
| 耕地时间（小时） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 耕地面积（公倾） | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
学生画图，小组交流，再全班交流。学生发现得到的是一条直线，并且都是向上的，也能解释原因。老师再出示两组正比例图象，坐标分别是钢笔支数与钱数、公里数与时间，并要求学生说明图象表示的具体数关系，以及具体直线上某点代表的意义。
图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，其作为表示变化规律的方法之一，有着其他表示方式不能替代的作用。上面的教学将正比例关系用坐标系的图像来表示，相应的关系“可视化”，进一步让学生体会函数思想。数形结合，促进学生对成正比例的量的变化规律有一个形象鲜明的印象，使学生能在日常语言与图、表语言之间灵活转换。
——“探索规律”备课解读与难点透视
浙江省杭州现代小学数学教育研究中心课题组
一，《标准》解读。
数学从属于科学，那么数学是一门怎样的科学？在这些根源性问题的哲学思辨中，“数学是模式的科学”得到了更多的认同。“也就是说，在数学中我们是通过（量化）模式的建构，并以此为直接对象来从事客观世界量化规律性研究的。”基于此，我们就能理解在数学学习中存在大量的规律、公式和算法，也就不难理解《数学课程标准（实验稿）》从一个新的视角定位“探索规律”，并对学生探求模式、发现规律提出新的要求。
《标准》把“探索规律”作为内容结构中的一个重要方面，第一学段要求：发现给定事物中隐含的简单规律；第二学段要求：探求给定事物中隐含的规律或变化趋势。同时还要求“探索并理解简单的数量关系”、“探索和理解运算规律”、“探索具体问题中的数量关系和变化规律”，等等。“探索规律”蕴藏着重要的教育内涵和价值，也从一个侧面说明了“探索规律”的教育地位和意义。探索规律并非是一个全新的内容，在以前的数学学习中早有呈现，只是没有得到高度重视和持续关注，知识相对散落，编排较为随机。在新课程中，这部分内容被独立出来，其实也只是相对独立，因为它还是要依托“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等领域的基础知识和基本技能。
二、“探索规律”的教学意义。
《辞海》将“规律”解释为：事物之间的内在的必然联系和趋势。至于“探索”，则是当代学习理论所倡导的，强调独立思考和发现。因此，探索规律是一个发现关系、发展思维的过程，有利于学生夯实基础，更能够体现数学思考，凸显过程与方法，同时，也能够让学生在自主探索与思考中感受到学习的快乐，形成积极的学习情感与态度。
1，实现夯实基础与思维发展的结合。
注重“双基”，规律的探索才会变得更有可能。探索规律不是数学学习中的“空中楼阁”，它是在认识个体学习对象的基础上，发现个体之间的关系或者事物发展趋势的过程。而这种关系或趋势的获得，从某种角度看来，恰愉是在追寻数学的本质，是一个数学化的过程。因此，探索规律的加强，为实现夯实基础与思维发展之间的结合提供了更多的可能。
案例1：
从掌握基本知识和技能的角度看，本题要求学生能根据具体的实物用相应的数来表示，并能正确书写。然而作为探索规律的要求，则是在这个基础上发现图与图、数与数之间的关系，能够从这些数中发现内在的变化规律：每次都多2。这种基于一组数据现象的概括，从关注实物与数的对应关系到关注数与数之间的变化关系，正是探索规律所追寻的思维发展的具体体现。
2，改进学生的学习方式。
改进学生的学习方式是新课程的一个主要目标。在数学学习过程中有多种学习方式并存，我们应该处理好接受性学习与自主、合作、探究的学习方式之间的关系，两者不能相互替代。因为“学什么与怎样学是分不开的”，离开了学习内容，学习方式本身也无优劣之说。而作为探索规律的教学，应该依托内容来驱动学生进行自主思考、主动探究，根据需要进行合作学习。
探索规律的内容更需要学生自主思考。例如：5×5=（ ），6×6=（ ），7×7=（ ），8×8=（ ），…你能发现什么？引导学生发现相邻的数的平方数之间的变化关系。这样的探索规律，需要学生思考“是什么”，而且还要知道“为什么”，学生在学习的过程中，不仅需要知道每一个算式的结果，而且还要发现结果之间的变化关系，而知道了变化关系：分别相差11，13，15，…也仅仅解决了规律是什么的问题。对于学生的学习来说，还有一个更重要的问题是“为什么”。引导学生利用乘法的分配律来作解释，如：6×6=（5＋1）×（5＋1）=5×5＋5＋5＋1；也就是a×a=b×b＋2b＋1，a，b为相邻的自然数，a＞b。学生反思探索规律的过程中有观察、有猜想、有验证，而相应的能力往往是在学生自主思考的过程中形成的。
探索规律中有一部分内容可以采用合作学习的方式组织教学，发展学生的合作能力。
案例2：神奇的“495”
任选三个数，如7、9、2，组成一个三位数，最大的数是（ ），最小的数是（ ），用最大的数减去最小的数，差是（ ）。将差的三个数字再组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，求出它们的差，重复上面的做法。
972-279=693
963-369=594
954-459=
请你想三个不相同的数字，按上面的做法做一做，看看有什么发现。
在日常教学中我们不难发现，有的合作是来自老师的指令，而并非是学生的自觉自愿。理想的合作，应该是在学生个体独立思考的基础上，因学习需要而自主寻求的合作。这个问题的关键在于学习活动本身是否需要合作。就该案例而言，当出现结果是“495”后，便不断地重复了，这会是一种巧合吗？从教学的组织形式来分析，可以单独完成，也可以小组合作。我们可以想见，与独立学习相比，小组之间的合作探究从知识形成的角度来说，获得的规律更具有数学的普遍性，因为例证不是来自一个个体，而是一个群体。当然，小组合作与独立学习相比还有其他的教育价值。
探索规律本身就是一种探究活动。探究性学习不仅天然地应成为其普遍的学习方式，反过来，探索规律这一内容也能很好地发展学生的探究能力。
案例3：晒50块手帕要多少个夹子呢？
像这样用一个夹子夹住相邻的两块手帕，一共要多少个夹子？
与一般基础知识和基本技能的学习相比，探索规律的教学具有更大的思维强调，具有更大的挑战性和思维驱动性。求夹50块手帕所要的夹子，首先要通过学生的理解，把这个生活问题转化成数学问题，这是思维的抽象，也是数学化的过程。50块手帕，那么多，直接去操作太麻烦，所以要促使学生主动探寻其中的规律。怎么发现规律呢？先从数量少的开始，1块，2块，3块，4块……从而发现规律：夹子个数比手帕块数多1。是不是所有的情况都是这样的呢？然后验证。最后，再应用规律解决问题。这个探索规律的过程，就是一个“观察思考发现问题，提出猜想，发现规律，验证规律，应用规律解决问题”的过程。这个过程也正是一个学生主动探究的学习过程。作为致力于发展思维的探索规律来说，其内容更具综合性和间接性，并不是基础知识的简单回顾或重复，也不是基本技能的同一水平层次的操练或巩固，而是一种提升，需要学生从综合性问题中抽象出数学问题，或者将具有现实性的问题转化为数学问题来解决。探索规律的这些特点，决定了它的教学与探究性学习的不解之缘。
至此，改变学生的学习方式不是来自教师的指令，而是来自探索规律的内容本身。这样的学习方式是来自学生内需，不是外在的压力，更不是一种形式上的模仿。
3，给学生创造成功的数学学习体验。
教育俗语“跳一跳，摘桃子”，是寓意学习具有一定的挑战性，学生才会乐于参与，才会产生学习的成功感。从教育学“成就动机理论”也同样可以发现：当问题的成功可能性P=50%时，学生的学习动机强度最大，最愿意参与学习。在教学实践中，我们也可以发现“随随便便的成功，学生很难有深刻的体验”。由此，与一般的教学内容相比，探索规律具有一定的挑战性，具有吸引学生参与学习、参与挑战的一种潜质，探索规律的教学，能激发学生学习数学的兴趣，让学生在探究过程中体验到学习成功的不易，同时也真切地体会到学习的快乐。
案例4：探索 几十一乘几十一的乘法速度（《现代小学新数学》第6册）
1，根据下面的算式和乘积，寻找规律。
11 21 31 51
×11 ×41 ×41 ×61
121 861 1271 3111
2，分小组讨论：算式的特点和积的规律。
3，用发现的规律做下面各题。
21×21= 61×81=
41×41= 31×51=
71×51= 91×31=
在学习了两位数乘两位数的基础上，引导学生来探索特殊类型乘法算式速算的规律，首先引导学生观察算式，概括出特殊类型的特征，然后发现积与乘数之间的关系，提出猜想，再通过举例，验证猜想，表达发现的规律。一旦学生发现了其中的规律，这样不仅方便了计算，更增强了学习的信心。
三、教学内容分析。
著名优秀教师张天孝先生一直头注小学生思维能力的培养，他认为对于小学生而言，探索规律在内容上，除了对数学中的法则、共识、性质等规律的探索以外，还包括数、式、符号、图形排列规律的探索，也包括数与数之间的规律和运算规律的探索以及数形结合规律的探索等内容。
1，探索数的规律。
案例5：
如上图：教材以学生的生活经验为基础设计了“排队”的情景，将1～5五个自然数依次呈现，形象地提示了相邻数之间的关系，让学生从整体上感知自然数组成的基本原理：每一个数比前面一个数大1，反之前一个数比后一个数小1，引导学生体验数的序列性规律。
探索数的规律，不是游离于数的认识的一种“另辟蹊径”，而是基于数的认识，同时又不局限于单个数的认识，用发现多个数之间的联系或者变化规律，以此来加深对数的理解。对于低年级的学生来说，除了规律本身，这种乐于发现规律的意识也是值得关注的。弗赖登塔尔就曾举过一个例子：小朋友从1数到100，有时他们会很不耐烦地数，数了一些数后，31，32，33，34，35，…“就这样继续下去”。就怎样继续下去呢？0后面是1，1后面是2，2后面是3，…，9后面是0，同时在左边添加1。之所以这样说，说明学生已经发现其中的规律。我们不期望他们去认识多位数，也不期望他们明白无限大的存在，我们珍视的是学生善于发现规律的意识。
2，探索式的规律。
案例6：
把一些算式排列在一起，让学生去发现其中的规律也是“探索规律”的内容。如上案例中，夺红旗的两条不同路线，安排了两组不同的进位加法算式，在计算的基础上引导学生发现规律。虽然算式简单，但蕴藏的规律却非常丰富。从左侧的加法算式中，引导学生可以发现：加数7不变，另一个加数递曾1，结果和也递增1；从右侧看，加数8不变，另一个加数递增1，结果和也递增1。而横向比较，还蕴含的规律是：一个加数增加1，另一个加数减少1，和相等。这样的探索规律，起点低，但拓展空间大。在数的运算教学中，重要的是让学生学会探求方法、总结规律，而不是死记结论，只有经过自己的探索，才能“知其然”，并知其“所以然”。探索式的规律，就不只要求知道式的结果，而是通过比较发现式与式之间的异同，发现变化的规律，而应用规律又能作用于式的结果的得出。
3，探索形的规律。
案例7：六连方
6个正方形会有多少种不同的排列法呢？引导学生如何有序地排列才能不遗漏不重复呢？在这个排列的过程中，学生需要正确辨别各个正方形之间的空间位置关系，也要弄清图形与图形之间的关系，看是否有重复。引导学生动手操作，如通过画图探索六连方的规律。在画出所有的六连方后，结合对正方体的认识，再继续探索：哪些六连方会是正方体的展开图呢？进一步发现其中的奥秘。类似于这样探索图形之间的变化规律，就是探索形的规律的主要内容。
4，探索数与形结合的规律。
案例8：
数与形是数学研究的基本内容，将数与形的规律加以联系，让学生去发现问题、解决问题，是“探索规律”的另一个重要内容。
如上案例，先观察上面图形与下面图形中数的变化，再根据规律在下面的空格中填上合适的数。学生在解决这些问题时，如果只从数或形的规律去思考是不够的。一方面需要考虑图形的对称（上下对称和左右对称）；另一方面需要考虑数的排列规律，通过数形结合的思想去探索规律，解决问题。在探索数与形的规律中，一方面关注数与数之间的大小变化关系；另一方面还关注了空间观念的培养，同时数形结合的探索规律也很好地把数学中的不同领域整合在一起。
四、探索规律的数学教育价值。
“探索规律”作为一个独立的教学领域，其内容之间有时也是相互交融、综合呈现的，在一个问题情境中，既有数的规律、式的规律，也可能并存形的规律。不管内容怎样，都体现着丰富的教育价值。
1，有利于培养学生的数感和符号感。
新课程关注学生数感的培养，但学生的数感是在学习过程中逐步体验和建立起来的，探索规律作为一个数学知识结构的重要部分，也是培养学生数感的重要载体。
案例9：
1，看卡片，找规律，后面接着画。
教材巧妙地将“探索规律”渗透到认识数等有关知识的教学中，采用看图数数、写数、填一填、圈一圈、找规律画点等练习形式，让学生在具体情境中感知和体验。在比较数与数之间的大小关系以及变化规律中，增强对数的感悟。
《标准》强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示。”探索规律的过程中，要把规律从具体的情境中抽象出一般的模型，就很需要借助符号来思考。这个符号不仅仅是一个代号，起着缩写的简约作用，更重要的是可以借助符号操作和推导，发现规律的本质。
案例10：
请你想好一个数记在心里，现在将它加上5，然后乘以2，再减去4，再除以2，然后减去你记在心里的那个数，结果得到的数是什么？请你算出来，但不要告诉我，因为我已经知道了。请你猜我是怎么知道的？
n，n+5，2n+10，2n+6，n+3，3。
最后的结果一定是3。
在以上的教学中，教师引导学生从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，从而体验将问题解决过程“符号化”的优越性。
2，有利于培养学生的观察能力。
观察就是找出事物的特征、结构的内在联系，以便掌握数、形、式等规律。观察题目的特征，联想学过的有关知识，探索解题思路的过程，也就是培养学生观察能力的过程。
案例11：
整理“10以内加法表”，学生可从多方向进行观察，发现规律——①从横行观察……②从竖列观察……③从斜列观察……经过讨论交流、猜想、验证，作出一般的归纳，在头脑中建立数学模型。
学生通过观察算式的排列规律、悟出道理和方法后，老师进一步安排了“活动与探索”的内容：“应用你观察、发现算式之间的规律，独立整理十几加几的算式”。学生亲自经历“观察规律——建立模型——解释和应用”的学习过程，体会到了规律的应用价值。
3，有利于培养学生的推理能力。
“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”是《标准》对推理能力培养的主要阐述。能力发展绝不等同于知识和技能的获得，不是“懂”了，也不是“会”了，而是学生在学习过程中自己“发现”规律、“悟”出道理和思想方法。这种“发现”只能在教学活动中进行，因此教材给学生提供了丰富的素材，创设了探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、探究、猜想、验证等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。
案例12：
这些算式有什么规律？
13―9= 15―9= 12―9=
14―9= 13―9= 15―8=
12―8= 14―8=
观察算式，你发现了什么规律？学生可能会猜想：减数不变，被减数与差之间的变化规律；也可能猜：被减数不变，减数与差之间的变化规律。验证：12－9=，14－9=；12―9=，12―8=；原来的猜想成立吗？再继续验证，结论成立吗……这是一个经历观察、猜想、归纳、验证的过程，既有合情推理又有演绎推理，学生学到的不只是结论，还包括学习方法和数学思想方法。
4，有利于培养学生的发散性思维。
探索规律的教学中可以提供一些开放题，通过信息呈现的选择性与问题解决策略的多样性，来培养学生的发散性思维。
案例13：
1，□里该填什么数？
2，在□里填合适的数，你有哪些不同的填法？
第1题，学生根据相邻数之间的递增关系：2+1=3，3+2=5，5+3=8，8+4=12在方框里填12；也可以运用相邻数之和等于第三个数的规律，在方框里填13……同样的问题，由于学生观察规律的角度不同，因此呈现的思维方式不同，解题策略也不相同，培养了学生的发散性思维。第2题，由于题目只给出了一个数，因此学生就可以根据对数、式、形规律的理解，自己构建规律。笔者曾经就类似的题目在一年级学生中做过案例分析，所测试的总人数中有86.2%的学生能构建五种及以上的规律，共得出37种不同的方法，解题策略呈多样性，这充分说明了“探索规律”的教学对培养学生发散性思维能力的重要性。
5，有利于渗透数学建模思想。
数学模型是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。在探索规律的教学中，需要引导学生概括出事物的共性特征，或者分析数量之间的本质关系，在数学思考的基础上数学地表达。从具体情境中探索出规律，是将问题一般化的过程。一般化超越了具体问题的具体形态，深刻提示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。这也包含在当前颇有争议的应用题教学中。传统的应用题教学在，对那些固化解决问题方法、僵化学生解题策略的做法应当摒弃，但对学生来说，从纷繁的具体问题中概括出问题的共性特征，形成一种对应的解决问题的策略，用一种结构化的数学模型来解决问题，这应该是值得倡导的。
案例14：
（1）一辆客车2小时行驶180千米，照这样计算，5小时行驶多少千米？
（2）3瓶饮料27元，5瓶这样的饮料要多少元？
（3）旅游纪念品厂3小时生产60个产品，照这样计算，8小时可以生产多少个产品？
此例通过先后安排三个不同问题的解决，试图引导学生发生各个问题之间的异同，不同的数量关系（分别从单价、数量、总价，速度、时间、路程和工作效率、工作时间、工作总量来描述），却有相同的问题结构，有同样的问题解决的策略，都要先求出单一量，再根据数量求出相应的总量。
五、教学中要注意的问题。
1，从无序到有序。
从教材知识呈现方式看，探索规律的内容在增强。每当教材向学生提供观察、思考与猜测的机会时，更多地要问学生诸如“你发现了什么”这样的问题，提示学生注意探索其规律，逐渐增强学生探索规律的意识。然而，探索规律作为小学数学知识结构新的部分，也需要系统的眼光，构建一个适合学生学习的序列。在新课程实施过程中，孤立地看某些探索规律比较难，但从实际教学效果看，却发现学生掌握得比较理想，这就是探索规律系统编排、有序训练所带来的积极影响。
案例15：数列的规律
（1）1，2，3，4，5，（ ），（ ）——递增
（2）20，18，16，14，（ ），（ ）——递减
（3）1，2，4，8，（ ），（ ）——扩大倍数关系
（4）32，16，8，（ ），（ ）——缩小倍数关系
（5）1，3，7，15，（ ），（ ）——几倍多几关系
（6）1，2，3，5，8，（ ），（ ）——前两个数的和等于第三个数
就数的排列而言，有很多适合学生探索的规律，教学时就在于如何有序地编排，由易到难，螺旋上升，以便于学生顺序发现规律，成功地进行探索。诚然，在不同阶段，对学生也应该有不同的要求，如题：（ ），（ ），12，（ ），（ ）。在不同的学习阶段，学生的解决策略也不同。教学时，不能不分析学生原探索规律的基础，而对学生的探索能力做片面的要求和评价。从无序到有序，不仅指的是数学问题，也同时指的是要求。
2，兼顾动手、动口与动脑。
倡导学生动手操作和动口表达，是当前新课程倡导的学习方式，因为借助动手操作，可以利用直观培养学生的思维；利用数学语言的交流，可以增强学生的数学表达能力。而对于具体的课堂教学而言，并不是学生动手操作越多越好，动口表达的机会越多越好，在动手和动口的背后，最关键的是看学生是否已经动脑。理智的教学不应把表面的“动”解释为数学在实现“做中学”。只有把外化的行为与内在的思维活动结合在一起，才是有效的数学学习活动。
案例16：
为了教学有趣的排列（二年级），教师创设了一个又一个有趣的情境。
情境1：在三个圆中画不同的颜色：红黄蓝，有几种不同画法？
○ ○ ○
情境2：安排摆卡片的游戏：用汉字卡片“做”、“好”、“事”，可以有几种不同的排列方法，读一读（做好事，做事好，好做事，好事做，事做好，事好做）。
情境3：三辆汽车开在路上，有几种不同的先后顺序？
情境4：三个人站在一排拍照，有几种不同的站法？
该案例的设计，是希望把数学知识与学生现实生活联系起来，通过一些方便操作的活动以及学生所熟悉的事物，发现事物排列的规律。对于二年级的学生来说，刚开始接触排列的规律时，是需要借助实际情境的，让每一个孩子动手操作，感受到规律的存在。但经历了几个不同的情境后，应当引导学生发现内在的本质规律，也无需每换一个情境，仍然重复机械的操作，而是应该思考问题的共同属性，为以后用一个乘法算式来求得几种不同的排列方法作准备。由此看来，强调动手操作，不能因此降低学生的思维强度，失去锻炼学生思维的机会。依托表象来思考可能存在的排列情况，比看到直观图示来分析排列的现象更有教育价值。
3，要给出充足的时间与空间。
从在一个单位时间设计一个教学活动的角度看，教材的编写和课堂教学的设计都是“选择的艺术”。教学目标的多元化也促使教学时要更注重效率。没有充足的时间和空间作保障，有效学习就成为空谈。然而教学时间的控制权是属于占主导作用的教师，还是占主体作用的学生，在现实教学中，尽管我们认同“以学生为本”、“换位思考”，但从教学现状看来，做起来很难。
案例17：
两位数加一位数的进位加法，设计一组对比的练习：
5＋7= 8＋4=
15＋7= 18＋4=
25＋7= 28＋4=
35＋7= 38＋4=
出示题目后，老师往往会马上问：你发现了什么？
有个别学生举手，老师请学生回答……
这样表面看“效率比较高”，但这仅仅是个别现象，对于这样的问题情境，学生需要充足的思考时间作保证，都有可能让更多的人有尽可能多的发现，充分发挥本题的教学功能。教学中，我们希望在计算的基础上自主探索规律，既能沟通20以内进位加法和100以内两位数加一位数的进位加法之间的联系，在已有的认知系统中建构新的算法；同时，纵向比较，发现其中有一个加数不变，另一个加数的个位也相同，不同的只是第一个加数的十位。它们在计算过程中有一个共性特征：和的十位总是比加数的十位多1，这也正是进位加法的本质特征所在。教学是选择的艺术，对于教材的编著者来说是一种选择，对于课堂教学来说也是一种选择，种种选择背后都承载着责任。
4，倡导技术的适当支持。
新课程重视新技术的应用。《标准》在第二学段明确要求所有学生应学会使用计算器探索规律，解决更为广泛的现实问题。用计算器探索规律得到了普遍的认同。因为，在探索规律的过程中，不是单一地为了巩固学生的计算能力，重心在于让学生探索出计算背后的本质规律。
案例18：数字宝塔
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
在教学探索规律的内容时，我们应该鼓励学生使用计算器来参与探索规律的过程，有了技术的支持，就会使探索规律变得更为高效。就上题而言，列一个竖式算出结果，对探索干什么来说并不重要，重要的是在计算中发现，用若干相同的“1”组成的数相乘时，结果有什么特点，产生这个特点的原因是什么？这个规律的普遍性怎样？就拿上题来说，10个1组成的数相乘时，结果又是怎样？与原来发现的规律有何异同？这些问题才是探索规律所追求的价值。
5，强调过程性评价。
对于课程改革而言，评价问题至关重要；对于小学数学中的探索规律教学而言，评价也有着举足轻重的作用。探索规律这部分教学内容的评价更强调过程，更注重多元，切勿以“知识的掌握”论英雄、以“规律的获得”论成败。
案例19：烤饼问题
有一个锅，同时可以烤2个饼，烤一面要3分钟，烤10个这样的饼要几分钟？
一节课后，这样的现象客观存在：A学生和B学生最后都算出了正确的结果，我们是否就说A、B两位学生取得了同样的成效？还有A学生前测已经有了正确的结果，上了课后，后测他还正确，我们是否说这个学生在学习上没有进步？这些问题的回答显然都不能如此简单。对于探索规律而言，不能仅从知识和技能的掌握与巩固来评价目标的达成，我们还应该关注探索的过程与方法。就上题而言，一个学生面对要解决烤10个饼的问题的时候，学生是否有意识先尝试从1个饼开始，化繁为简，用转化的方法来解决问题，这是数学学习的一种重要的方法；在有了解决问题的方法后，学生能否从优化的角度尝试在解决问题的多种方案中寻找最优方案，应用运筹思想以及对策论方法？这也正是教学的重要目标。再从学习的情感、态度和价值观领域来看，探索规律的过程是否吸引了学生的积极参与，兴趣如何，是否尊重客观事实、质疑猜想？是否会与人合作、善于交流？这也正是数学学习不可或缺的理性精神。
联系客服
