五年级：分解质因数（二）

 

上期内容我们讨论了分解质因数在研究整数问题中的功用，这一期我们继续讨论这个话题，看看分解质因数在求两个数最大公因数和最小公倍数时能发挥什么作用。

课堂上学习的求最大公因数和最小公倍数的方法是“列举法”。如求12和18的最大公因数和最小公倍数：

其实，用分解质因数的方法能更快更方便地求出这两个数的最大公因数和最小公倍数：

12＝2×2×3

18＝2×3×3

从上面可以看到12和18的公有质因数是2、3；除此以外，12还有一个质因数是2，18还有一个质因数是3，可以叫做它们各自的独有质因数。那么，

12和18的最大公因数就等于公有质因数的乘积：2×3＝6

12和18的最小公倍数就等于公有质因数与各自独有质因数的乘积：2×3×2×3＝36

看，简单多了吧！课本P61“你知道吗？”介绍的就是这种方法。

运用这种方法，我们也可以倒过来已知两个数的最大公因数和最小公倍数，求这两个数。

例  题

两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30。这两个数可能是多少？

【解析】将30和180分别分解质因数：

30＝2×3×5

180＝2×3×5×2×3

30是两数的最大公因数，因此这两个数的公有质因数是2、3、5.

180是两数的最小公倍数，除了2、3、5这三个公有质因数外，还有两个独有质因数2、3。

第一种情况：把独有质因数2、3分别给这两个数，那么一个数是2×3×5×2＝60，另一个数是2×3×5×3＝90.

第二种情况：把独有质因数2、3都给其中一个数，那么这个数是2×3×5×2×3＝180，另一个数则是2×3×5＝30.

答：这两个数可能是60和90，也有可能是180和30。

从上面的讨论中我们还会发现一个规律：两个数的乘积与它们最大公因数和最小公倍数的乘积是相等的。为什么呢？仔细观察大家就会发现这两个乘积所包含的质因数是一样的：

如60×90＝2×3×5×2×2×3×5×3

180×30＝2×3×5×2×3×2×3×5

因而，60×90＝180×30

用其它的例子也能证明这个规律吗？试一试。

试一试：

1.A＝2×2×3×5，B＝2×3×3×7.A和B的最大公因数是（    ），最小公倍数是（     ）。

2.两个合数的乘积是5766，它们的最大公因数是31。求这两个数。

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