数列是高考数学必考题型之一,有的简单有的复杂,2012年全国一卷的填空题最后一个题难度就比较大一些,没有难度都对不起它所在的位置。
无论多难的题目如果总结的到位,那么在任何位置都简单。
2012全国一卷理科
上面是大部分地方给出的解析,所实话很多学生可能看不懂,或者想不到。
除了上面的解法,还有一种解法:
当n=2k,代入式子可得:a(2k+1)+a(2k)=4k-1 ①
n-1=2k-1,带入式子可得a(2k)-a(2k-1)=4k-3 ②
n-2=2k-2,带入式子可得a(2k-1)+a(2k-2)=4k-5 ③
①-②得a(2k+1)+a(2k-1)=2 这个式子表示两个相邻的奇数项相加。
②+③得a(2k)+a(2k-2)=8(k-1)这个式子表示两个相邻的偶数项相加。
当n=2k+1,带入式子可得:a(2k+2)-a(2k+1)=4k+1 ①
n-1=2k,代入式子可得:a(2k+1)+a(2k)=4k-1 ②
n-2=2k-1,带入式子可得:a(2k)-a(2k-1)=4k-3 ③
①+②=a(2k+2)+a(2k)=8k 这个式子表示相邻两个偶数项相加。
②-③=a(2k+1)+a(2k-1)=2 这个式子表示两个相邻奇数项相加。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
两种情况两个相邻奇数项相加都是2,为啥两个偶数项相加式子不一样呢?
因为起点不同,所以式子略有不同。
比如说a(2)+a(4)当n为偶数时,式子为a(2k)+a(2k-2)=8(k-1)
此时,k=2,才表示a(4)+a(2)=8x(2-1)=8
当n为奇数的时候,式子为a(2k+2)+a(2k)=8k 要想表示a(4)+a(2),k=1。
同样a(4)+a(2)=8x1=8
无论n是奇数还是偶数,两个相邻的奇数项之和都是2,两个相邻的偶数项之和都是和k有关系。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
所以很显然S60=(a1+a3+......+a59)+(a2+a4+......+a60)
奇数项一共30个数,15对,每对相邻奇数相加等于2,所以奇数项之和是30.
我们假设n为奇数吧,a(2k+2)+a(2k)=8k这个式子。
(a2+a4)+(a6+a8)+......+(a58+a60)
也就是k分别取1 3 5 7 ....一共15个数。
也就是8x1+8x3+8x5+...... 一共十五项。
提取一个8,括号内就是一个以1为首项,公差是2的等差数列前15项和。
8x(15x1+(15x14x2)/2)=1800.
所以最后结果是1830。
假设n是偶数,带入相应表达式,求偶数项之和也是1800,大家可以试一试。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
第一步,确定是否是这种式子:相邻两项,加减交叉。
第二步,分别取n=2k,n-1=2k-1,n-2=2k-2(或者n=2k+1,n-1=2k,n-2=2k-1)带入递推式中得出三个式子。
第三步,三个式子要么其中两个相加,要么其中两个相减,凑出奇数项相加的式子,和偶数项相加的式子。
第四步,分别求奇数项相加的结果和偶数项相加的结果。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
再来一个相似的模拟题:
这个题和之前的题属于同一类型,在这套模拟题上也是填空题最后一个题目。
如果之前没有总结的话,做起来还是很难,但是一旦我们之前总结过,现在再做就非常简单了。
还是设n=2k 那么a(2k)-a(2k-1)=2k ①
n-1=2k-1,把式子中n都换成n-1,那么a(2k-1)+a(2k-2)=2k-1 ②
n-2=2k-2,把式子中n都换成n-2,那么a(2k-2)-a(2k-3)=2k-2 ③
①+②得a(2k)+a(2k-2)=4k-1 两个相邻的偶数项之和
②-③得a(2k-1)+a(2k-3)=1 两个相邻的奇数项之和
同样的思路,就可以算出来S40等于多少了。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
有的学生可能会问了,是不是奇数项之和都是一个定值呢?
其实不是的,这两个题都是赶巧了,递推式后面是pn+q的形式,如果递推式后面是其他的形式,奇数项之和就不是一个定值了。
不是定值的话,就是和k有关的一个式子,那样的话奇数项之和也是一个什么样的数列,和偶数项之和求法是一样的。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
赵国良老师想在这里跟大家说几句话:
题目第一次不会做不用怕,关键是能够保证下次遇到同类的题目,一定要会做。
这就要求大家对每一类题型总结非常到位才行。
自己可能没时间总结,或者自己总结能力有限,那么可以借助外力来完成,比如看我总结的内容。
只要能够把我总结的内容记住了,会用了,就ok了。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
赵老师(微信:18254638393)专注高考数学研究,对每一类题都会总结的比较到位。
另外对目前最火的思维导图高效学习法研究比较深,对于基础知识差的学生有奇效。
曾帮助一个十几分学生,在最后不到二十天时间,提升到高考时的97分。
如果您孩子数学成绩现在还在及格线以下,可以加我微信号,试一下我们的网络直播课程的效果。
联系客服