蝴蝶定理的证明

如图，过圆中弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED，分别交AB于P、Q，两点，则PM＝QM。

由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年前后，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得此定理的证明如翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。下面笔者来和大家来交流此定理的一种证明。

作OG⊥CF于G，OH⊥DE于E，连OM，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，∴OGPM四点共圆。

∴∠1＝∠2 ① ；同理，∠3＝∠4 ②

∵∠C＝∠E，∠F＝∠D，∴△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE

∵OG⊥CF，∴CF＝2FG，同理：DE＝2DH，代入上式得：

∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH，∵∠F＝∠D，∴△MFG∽△MDH，∴∠2＝∠4 ③

由①②③得：∠1＝∠3。

∵∠OMP＝∠OMQ＝90o，OM公共，∴△OPM≌△OQM，∴PM＝QM