高中数学的第一个分水岭在对数函数（高一上）。从初中升入高中，本身就有一个适应的过程。学到指数函数的时候，大部分同学是能跟上的。从对数开始，数学水平开始分化。为什么？问题就出在对数的运算法则。在应用这些运算法则解题时，要么记不住，要么陷入混乱。如果这个时候缺少指点矫正，恐怕将直接导致数学成绩不理想，进而打击学习信心，不可不重视。
课本上明明有运算法则的证明方法，写得很清楚，但为什么还是有很多同学搞不清楚呢？恐怕跟证明思路有很大的关系。课本上的证明方法虽然看起来很靓丽，但有不足之处：一、逻辑不强的同学，稍不留神就被绕进去而出不来。这些同学在仿照该方法去证明其它法则时，很容易出现逻辑混乱，绕来绕去，经常会出现命题自证的低级错误。二、这种证明方法不好记忆，仅仅为证明而证明，对于初学者来说缺少重大意义。
课本上的证明其实不错，但不适合于初学者
今天，我就要从而且仅从对数函数的定义出发来证明这些运算法则！证明过程逻辑清晰，易懂易记，不但可以加强同学们对对数的理解，而且这种证明方法蕴含的思维对之后的解题也很有帮助，可谓一举两得。
我们从对数定义开始，请你多看几遍。
第一个对数运算法则，很简单，但很重要
为了让你更好地理解证明过程，我在每次证明前都把对数的定义式写出来。
第二个对数运算法则
最后一步得到的是自然成立的等式。证明过程的每一步都是可逆的，所以倒过来就可以证明命题。在以下其它证明中，我也是采用这个思路。从命题倒推，得到自然成立的等式，然后保证每一步都是可逆的。
第三个对数运算法则
下面我们来证明一下对数换底公式。
第四个对数运算法则
在无特别需求的情况下，可以取 c = 自然常数 e，换底公式的右方就是㏑b/㏑a。
在换底公式的证明中，我们用到了被证明过的第三个运算法则。注意，你不能使用没有被证明的结论。
当然，还有其它运算法则，但都可以用这四个运算法则组合推导出来。所以我就不赘述了。只要抓住了方法，其它法则记不记都无所谓。
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