高中为什么要重新定义函数？

昵称为“丽”的读者朋友留言问道：

高中为什么要重新定义函数？能给个例子说明重新定义的必要性吗？

丽，

在初中，函数是这样定义的.

一般地，在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就是，x是自变量，y是x的函数.

到了高中，函数的定义升级了.

一般地，我们有：

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A----B为从集合A到集合B的一个函数，记作

y=f(x),x属于A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

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相同点

两个定义都强调----唯一确定，这是函数的本质特征.

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升级之一

高中阶段，把函数看成两个数集间的一种对应关系.

当然，你可能说，不学这个新定义，后面的指对幂函数，三角函数不都照样学吗？

的确可以，像初中阶段，说“形如***的是***函数”.

但这个定义，主要是为讲映射.函数是一种特殊的映射，通过特殊化的函数，讲一般化的映射.

而数学里的映射就太广泛了，比如数轴上的点与其坐标、平面内的封闭图形与其面积、随机事件的集合与其发生的概率，等等等等，甚至连加法运算都是一种映射.

不过，高中阶段直接考映射的题也不多，竞赛和自招会有部分涉及到.

说的高级一点，这个定义是为大学数学作准备----用映射观点解决问题.

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升级之二

第二个升级，就是引入“定义域”和“值域”这样的专业词汇.

不然，每次数学家交流都要说，你那个自变量的取值范围是多少，你那个函数的函数值集合是多少，太啰嗦.

就好像“姥爷”这个词发明之后，你就不用说“妈妈的爸爸”这样既长又绕口的称呼了.

祝好.