本着授人以鱼不如授人以渔的职（犯）业（懒）精神，整理一下个人对积分学习的一点建议，希望能有点帮助。积分确实很恶心，但是它很重要，为什么重要，因为积分可以返利，嗯。
一、不要过多关心为什么要学积分，尤其是手算求积分
很多专业 为什么要学高等数学是一个足够专门写一本书的争议话题，我不想多谈，概括几句话自己体会吧。
（1）不是没有用，是还没到用的时候。
（2）不是没有用，是现在给你解释不清楚。
（3）数学里有个重要概念叫可交换性，有些问题的学习顺序是不可交换的，比如一个人脑子里一旦有了钱，他就很难再静下心来学数学
了——最多对付着教教数学基础课，嗯。所以不要总想着为什么不能一边学金融一边用到什么数学补什么。
（4）比起二十年前，眼下的社会并不妨碍偏才怪才的发展，如果你喜欢唱歌，大可以去参加各种选秀，其实大部分自以为唱歌很好的同学充其量也就是个企业年终晚会主唱的水平，不然这年代你可能早就脱颖而出了，参考tf boys。如果你只是个普通大学生，那么积分对你将来的发展大概率会有用的。
（5）除去个别生在“教育世家”的同学之外，要明白你现在能密切接触到的人里最懂教育学的是你的大学老师们，你不信我们去信网上的所谓心灵鸡汤，你自己说你4842。
（6）虽然时代发展了，计算机技术可以代替很多人类劳动，但是不定积分是个特例。你可以不去用手算十位数乘法，可以不去用手算求平方根，可以不去用手算sin 2是多少，因为这些你都大概知道可以怎么算，只是算起来麻烦所以交给了计算机（sin 2虽然上大学以前不会算，但是现在起码有taylor公式）。但是不定积分不同，你问一百个普通数学老师，会有九十九个不清楚计算机到底是怎么实现的不定积分，注意是不定积分，定积分怎么做还是会的。所以你连它大概怎么算出来的都不清楚，就敢用它的结果吗？（我好像听见了学生说“敢”的声音……）
（7）所以说还是不要讨论为什么要学积分这个话题，为什么要学积分，因为考试考，少废话。少说多干，行胜于言，母校校训不能忘。“我不相信教育会是完全快乐的。”
二、要清楚积分相关的教学和考试要求
（1）一定要清楚，不可积（这里指不定积分）函数类是比可积的“多”很多的，可积的没有初等函数表示的是比有初等函数表示的“多”很多的，有初等函数表示但是不容易算出来的是比容易算出来的多很多的，容易算出来的是比我们考试会考的多很多的。这里的多是个什么概念，近似的理解成就是无理数比有理数“多”的那种多。所以放心，把教材上所有题目都刷一遍也不存在“运动过量”的问题。
（2）充分重视因式分解在学习方法上的借鉴意义。因式分解和不定积分都是比较自然的思维方向的运算的逆运算，所以没学之前应该都觉得是很神奇的东西。想不明白怎么学积分，不妨回忆下初中是怎么学因式分解的；想不明白积分要学到什么程度，不妨去体会一下你现在因式分解会到了什么程度，离代数基本定理的格式还差多远。
（3）个人觉得待定系数法做因式分解，跟有理分式积分法比较像。如果你说，积分太难了，有没有什么流程化的办法，哪怕做起来很累，但可以对相当大的一类函数机械的做下去，那最常见的答案就是有理分式积分法。但是这东西大部分专业考试不考。
（4）学积分离不开刷题，但是由于不是什么样的函数都能随便积得出来，所以最好别随便拎出来一个函数就试着积分，如果不知道该试谁，一般教材课后都有一个大积分表，挨个算吧。
（5）任何数学考试不会为了考积分而考积分，或者说，不会闲着没事考你一个隐居在深山老林里的函数的积分。到底哪些是可以考的，哪些是不可以考的，没有别的办法，刷题吧，刷一刷你就知道哪些是常见好积的函数了。
三、该刷题就刷题，注意是刷题而不是刷答案
（1）很多大一学生觉得好像所有数学老师清一色的反对刷题，但是其实这个理解有误。有误的原因有两条：第一，我们对刷题这个词的定义不一样，老师们反对的是刷题，同学理解的是不做题；第二，老师们反对的是靠刷题来学习新东西，除了刷题不知道该怎么学习了。比如看到一个新概念新定理，不做一百道同类型的题目完全记不住它，这个是大学坚决反对的。如果你没做题前就把新概念的内涵体会得差不多了，该想到的问题自己举一反三的想到了，然后再做点题扩展下思维，这个没人反对，而且是提倡的。
（2）积分运算是高等数学学习里的一个单独方向。最近在反思，高等数学本来是很简单的基础课，但是新手总觉得难，到底难在哪，好像其中一个原因就是这家伙虽然不难，但难度的方向五马分尸。比如，预备知识给你扯了一堆存在任意的逻辑推理，小饿小困没喝香飘飘呢根本绕不清楚（当然喝了就更绕不清楚了，傻子才觉得困了要喝奶茶）。极限一章不停的拿非初等函数毁三观，感觉这个世界上再也没有什么可以相信的结论了，而到了中值定理的时候虽然不墨墨迹迹的什么都要证一遍了，但又不停的构造一些神一般的辅助函数，把久违的高考最后一道题的感觉重新找了回来……最后到了积分这里，理论证明方面的要求都没有了，只剩下计算了（其实很多问题还是存在的，只是再要求学生会把学生逼疯的，而且对很多专业好像确实没有啥用）……然后怎么办，一句话，我不相信你当年不做一千个题能学会因式分解。
（3）既然是逆运算，注意刷题的时候一定不要随便看提示，看了就完全没有意义了。每做一道题都抱着是在考试的自虐心态，可能略有帮助。不要总是做到一半就瞅一眼答案，然后发现，噢，原来这次少写了个常数，那次少把换元变量又换回去了，下次又没把三角函数和反三角函数的复合化简什么的。做就做到底，然后看看答案，这样如果做错了可能会印象深刻一点，于是相当于少刷了很多题。至于个别懒癌患者看到根式就想到三角换元，然后这道题就停留在“应该三角换元”的水平不往后做了，恭喜你跟我上课讲课一个风格。但如果是考试，我能接着做出来，你也能就行。
四、不要总想着捷径，也不要无视规律的存在
积分学习也不是完全无章可循，硬说捷径也不是一点都没有，比如以下几条可以一试，但是到底算不算捷径就不清楚了。
（1）非数学专业的学生，可以严重注意一下形式运算这个东西。非常好用。你会发现原来微积分这种非初等运算还保留了一点点可以偷懒的看成初等运算的余地，不禁感激上天有好生之德。——如果你真觉得感动了，恭喜你，顺便明白了什么叫斯德哥尔摩综合症。
（2）可以尝试用找茬的心态来阅读教材和做练习。举个不太友好的例子，比如你看到某教材上先用倍角公式求出来csc x的积分，又用余角公式去求了sec x的积分，应该立刻抗议才对，因为很明显这不符合一般的数学“直觉”，csc x和sec x八成会有某种“对称性”，一个靠另一个用余角公式求出来是很别扭的。然后自己试着看看有没有更一般的求法，应该很快可以发现能让它们地位相近的更通用的积分方法。
（3）很多函数有很多不同的积分方法，初学最好都试试，然后再评析一下优先级顺序，这两步都很重要。就像a^6-b^6的因式分解，先看成平方差公式和先看成立方差公式，因式分解难度就是不同的。
（4）适当的把相近的函数汇总在一起总结一下。积分运算很麻烦的一个重要原因是，被积函数形式稍微变一点，结论可能大不一样，通往结论的做法也可能大不一样。所以看到了xe^(x^2)的积分，没等看下一个例题，就去想想如果是x^2e^(x^2)会怎么样，如果是x^2e^x又会怎么样，然后再试着想想为什么它们的做法大不一样。虽然估计想了也并没有用，但是想想还是好的。特别提醒那几个根式相关的东西，sqrt(x^2+a^2)，sqrt(x^2-a^2)，sqrt(a^2-x^2)以及它们的倒数。
（5）在做了一定量的习题之后，注意必须是在这之后，可以考虑自己独立“构造”一次积分表。把你脑子里的所有函数按其重要程度排个序，然后依次研究下它们的积分，比如最开始是常函数，然后是单项式、多项式，幂函数，指对数，三角……然后它们的复合……可能对整理思路略有帮助。这个练习与之前提到的“不要随便对一个函数就试着积分”应该并不矛盾，因为大部分同学脑子里也没有多少函数，不怕积不出来……
（6）充分重视一下那几个原函数没有初等表示的例子，虽然眼下根本证明不了它为什么没有初等表示，也不知道到底啥样的才没有初等表示，但记下来这些会对学多元微积分尤其是对付多元微积分考试非常有帮助。
不定积分是高等数学学习和教学的一个重要话题，不想不能也不敢讲太多，写这个主要是最近觉得自己真的老的很快，人一过了三十岁就觉得记忆力蹭蹭的下降（假装自己刚过三十的样子），想到啥就记一下，也许是个好习惯，能帮到一部分学生就更好了，本来高校教师这职业就是良心活。帮不到那也不是因为我水平差，微积分创立几百年了，也没听说谁有什么太靠谱的办法帮新手学积分，哼。还得靠自己，嗯。
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