九上数学人教期中测试卷

九年级上册期中综合测试卷

一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)

1.二次函数y=(x+1)²-5的图象的对称轴是(　　)

A.直线x=-1    B.直线x=1

C.直线x=5 D.直线x=-5

2.下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是(　　)

A  

B

C  

D

3.若(1-m)

+3mx-2=0是关于x的一元二次方程,则该方程的一次项系数是(　　)

A.-1   B.±1  C.-3   D.±3

4.如图,△ABC经过平移得到△A₁B₁C₁,已知在AC上的一点P(2.4,2)平移后的对应点为点P₁,若点P₂与点P₁关于点O中心对称,则点P₂的坐标为(　　)

A.(1.4,-1)  B.(1.6,1)

C.(2.4,1)   D.(1.5,2)

5.要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下.

甲:若b=5,则点P的个数为0;

乙:若b=4,则点P的个数为1;

丙:若b=3,则点P的个数为1.

下列判断正确的是(　　)

A.甲乙错,丙对  B.甲丙对,乙错

C.甲乙对,丙错  D.乙丙对,甲错

6.若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一,且个位数字比十位数字大5,则这个两位数是(　　)

A.27   B.72

C.27或16  D.-27或-16

7.如图,在平面直角坐标系中,规定P[x,α]表示OP的长为x,OP绕点O顺时针旋转α后与x轴正半轴重合.已知Q[2

,135°],则点Q的坐标为(　　)

A.(-

,

) B.(-2,2)

C.(-2,-2)   D.(2,-2)

(第7题)　　

(第8题)

8.如图,二次函数y=ax²+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是(　　)

A.abc<0

B.4ac-b²>0

C.c-a>0

D.当x=-n²-2(n为实数)时,y≥c

9.若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(ac≠0)有一根为2 023,则关于y的一元二次方程cy²+by+a=0(ac≠0)必有一根为(　　)

A.

  B.-

C.2 023    D.-2 023

10.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,E为CD的中点,连接AE,BE,点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动,同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动,点M,N的运动速度均为每秒1个单位长度,连接MN,设运动时间为t秒,△EMN的面积为S(当点M与点A或点E重合时,规定S=0),则S与t之间的函数关系的图象为(　　)

二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)

11.已知关于x的一元二次方程x²+x+a=0有两个相等的实数根,则a=　　　　. 

12.已知关于x的一元二次方程(a+c)x²+2bx+(a-c)=0有两个相等的实数根,其中a,b,c分别为△ABC三边的长,则△ABC是　　　　三角形. 

13.“卢沟晓月”是古代著名的燕京八景之一,古时乾隆皇帝曾赋诗“半钩留照三秋淡,一蝀分波夹镜明”于此.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线,桥拱在水面的跨度OA约为22米,若按如图所示方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为y=-

(x-11)²+k,则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P'之间的距离为　　　　米. 

14.如果抛物线L:y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数,且a≠0)与直线l都经过y轴上的同一点,且抛物线的顶点在直线l上,那么称该直线l是抛物线L的“梦想直线”.如果直线l:y=mx-1(m是常数)是抛物线L:y=x²+4x+n(n是常数)的“梦想直线”,那么mn的值是　　　　. 

15.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转,当点D落在射线CB上的点P处时,线段DP的长为　　　　　. 

三、解答题(共8小题,共75分)

16.(7分)小明同学解一元二次方程x²-6x-1=0的过程如下.

解:x²-6x=1,　①

x²-6x+9=1,　②

(x-3)²=1,　③

x-3=±1,　④

x₁=4,x₂=2.　⑤

(1)小明解方程的方法是　　　　　; 

A.直接开平方法    B.因式分解法

C.配方法   D.公式法

他的求解过程从第　　　　　步开始出现错误. 

(2)解这个方程.

17.(8分)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A,B,C的坐标分别是(-2,-1),(-1,-2),(-3,-3).将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A₁B₁C₁(点A,B,C的对应点分别为点A₁,B₁,C₁).

(1)在网格中作出△A₁B₁C₁;

(2)在y轴上确定一点D,使DA+DA₁的值最小,并直接写出点D的坐标.

18.(9分)已知▱ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程2x²-2mx+m-

=0的两个实数根.

(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长.

(2)若AB=2,求▱ABCD的周长.

19.(9分)随着“冰墩墩”的走红,民众对“冰墩墩”玩偶的需求猛增.制造工厂及时引进1条生产线生产“冰墩墩”玩偶,开工第一天生产“冰墩墩”玩偶300个,第三天生产“冰墩墩”玩偶432个.若每天生产量增长的百分率相同.

(1)求每天生产量增长的百分率.

(2)经调查发现,1条生产线最大产能是900个/天,若每增加1条生产线,每条生产线的最大产能将减少30个/天.现该厂要保证每天生产“冰墩墩”玩偶3 900个,在既增加产能又要节省投入的条件下(生产线越多,投入越大),应该增加几条生产线?

20.(10分)根据学习函数的经验,探究函数y=x²+ax-4|x+b|+4(b<0)的图象和性质.

(1)下表给出了部分x,y的值:

x	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	…
y	…	3	0	-1	0	3	0	-1	0	3	…

由上表可知,a=　　　　,b=　　　　. 

(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y=x²+ax-4|x+b|+4的图象,并写出该函数的一条性质:　. 

(3)若方程x²+ax-4|x+b|+4=x+m至少有3个不同的实数解,请直接写出m的取值范围.

21.(10分)如图,一小球M从斜坡OA上的O点处抛出,球的抛出路线是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,斜坡可以用一次函数y₁=

x刻画.若小球到达的最高点的坐标为(6,12).

(1)求抛物线的解析式.

(2)在斜坡OA上的B点处有一棵树,B点的横坐标为3,树高为7,小球M能否越过这棵树?请说明理由.

(3)求小球M在飞行过程中离斜坡OA的最大竖直距离.

22.(10分)如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点A作AE⊥AC,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交线段CM,射线AE于点F,D.

(1)问题发现:∠NDE=　　　　. 

(2)拓展探究:如图(2),当∠EAC为钝角时,其他条件不变,∠NDE的大小有无变化?请给出证明.

(3)如图(3),若∠EAC=15°,BD=

,线段CM的延长线与AB交于点G,其他条件不变,请直接写出AC的长.

　　　　　　　           图(1)　　　　　　　　图(2)　　

图(3)　　　

23.(12分)定义:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标为(0,c),我们就把直线y=c称为这条抛物线的极限分割线.

(1)抛物线y=x²+2x+1的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为　　　　. 

(2)经过点A(-1,0)和B(x,0)(x>-1)的抛物线y=-

x²+mx+n与y轴交于点C,它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D,请用含m的代数式表示点D的坐标.

(3)在(2)的条件下,设抛物线y=-

x²+mx+n的顶点为P,直线EF垂直平分OC,垂足为E,交该抛物线的对称轴于点F.连接DF,若∠CDF=45°,求点P的坐标.

九年级上册期中综合测试卷答案

1.A　

2.D　D选项中的图形绕中心旋转

=72°后可与自身重合.

3.C　由题意得1-m≠0,m²+1=2,解得m=-1,∴该方程的一次项系数为3m=-3.

4.B　由题意可知A(2,4),A₁(-2,1),即将△ABC向左平移4个单位长度、向下平移3个单位长度后得到△A₁B₁C₁,故点P(2.4,2)平移后的对应点P₁的坐标为(2.4-4,2-3),即P₁(-1.6,-1).因为点P₁与点P₂关于点O中心对称,所以点P₂的坐标为(1.6,1).

5.C　∵y=x(4-x)=-x²+4x=-(x-2)²+4,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),即抛物线上的点的纵坐标的最大值为4,∴当b=5时,不存点P,即点P的个数为0;当b=4时,点P是抛物线的顶点,即点P的个数为1;当b=3时,结合抛物线的对称性,可知点P的个数为2.∴只有丙的说法不正确.

图解：

6.A　设这个两位数的十位数字为x,则个位数字为x+5,根据题意得10x+x+5=

(x+x+5)²,整理得4x²-13x+10=0,解得x₁=2,x₂=

(不合题意,舍去),∴x+5=7,∴这个两位数是27.

7.B　由题意可知,点Q在第二象限,如图,过点Q作QB⊥y轴于点B,则OQ=2

,∠QOB=45°,结合勾股定理可得QB=OB=2,∴点Q的坐标为(-2,2).

8.D　逐项分析如下.

选项	分析	正误
A	∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0.∵抛物线的对称轴位于y轴左边,∴- <0.∵a>0,∴b>0,∴abc>0.	✕
B	∵抛物线与x轴有两个交点,∴b^2-4ac>0,∴4ac-b^2<0.	✕
C	∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴- =-1,∴b=2a.当x=-1时,y=a-b+c<0,∴a-2a+c<0,∴c-a<0.	✕
D	该抛物线的对称轴为直线x=-1,点C关于直线x=-1的对称点的横坐标为-2,纵坐标与点C的纵坐标相等,即为c.∵a>0,∴在抛物线的对称轴的左侧,y随x的增大而减小.∵n^2≥0,∴-n^2-2≤-2,∴当x=-n^2-2时,y≥c.	√

9.A　把x=2 023代入方程ax²+bx+c=0,得2 023²a+2 023b+c=0,方程两边同时乘以

,整理得

c+

b+a=0,所以

必为方程cy²+by+a=0(ac≠0)的一个根.

10.D　∵E为DC的中点,∴DE=CE=4,∴在Rt△ADE和Rt△BEC中,由勾股定理得AE=BE=4

,∴AE²+BE²=AB²,∴∠AEB=90°.由题意可知AM=EN=t,则ME=NB=4

-t,∴S=

×ME×EN=-

t²+2

t=-

(t-2

)²+4(0≤t≤4

).故S与t之间的函数关系的图象为开口向下,且顶点坐标为(2

,4)的抛物线的一段,故选D.

11.

　由题意知Δ=1²-4a=0,解得a=

.

12.直角　∵关于x的一元二次方程(a+c)x²+2bx+(a-c)=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2b)²-4(a+c)(a-c)=0,∴a²=b²+c²,∴△ABC是直角三角形.

13.26　由二次函数的图象可知,A(22,0)在抛物线上,把A(22,0)代入y=-

(x-11)²+k,得0=-

(22-11)²+k,解得k=13,∴y=-

(x-11)²+13.∵点P和点P'关于x轴对称,∴PP'=2×13=26(米).

14.-2　在y=mx-1中,令x=0,得y=-1.在y=x²+4x+n中,令x=0,得y=n.∵直线与抛物线都经过y轴上的同一点,∴n=-1,∴抛物线L的解析式为 y=x²+4x-1=(x+2)²-5,∴抛物线的顶点坐标为(-2,-5).∵抛物线的顶点在直线l上,∴-5=-2m-1,解得m=2,∴mn=2×(-1)=-2.

15.

或3

　(分类讨论思想)①如图,当点D落在射线CB上的点P处时,连接AP,PD,AP=AD=5.在Rt△ABP中,BP=

=

=4,∴PC=5-4=1.在Rt△PCD中,DP=

=

.②如图,当点D落在射线CB上的点P'处时,连接AP',P'D,AP'=AD=5.在Rt△ABP'中,BP'=

=

=4,∴P'C=5+4=9.在Rt△P'CD中,DP'=

=3

.综上所述,线段DP的长为

或3

.

16.【参考答案】(1)C　②(4分)

(2)∵x²-6x=1,

∴x²-6x+9=1+9,

∴(x-3)²=10,

∴x-3=±

,

∴x=3±

,

∴x₁=3+

,x₂=3-

.(7分)

17.【参考答案】(1)△A₁B₁C₁如图所示.(4分)

(2)如图,D(0,1).(8分)

解法提示:(“将军饮马”模型)作点A关于y轴的对称点E,

连接A₁E,交y轴于点D.

18.【思路导图】

(1)由菱形的性质→AB=AD→Δ=0→m→代入原方程求解,即可得出结论

(2)AB=2→将x=2代入原方程求出m→确定方程求解→▱ABCD的周长

【参考答案】(1)∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD.

∵AB,AD的长是关于x的方程2x²-2mx+m-

=0的两个实数根,

∴Δ=(-2m)²-4×2(m-

)=4(m-1)²=0,

解得m₁=m₂=1,(2分)

∴当m=1时,四边形ABCD是菱形.

将m=1代入原方程,得2x²-2x+

=0,

整理得2(x-

)²=0,解得x₁=x₂=

,

∴菱形ABCD的边长为

.(5分)

(2)把x=2代入原方程,得8-4m+m-

=0,

解得m=

.(6分)

将m=

代入原方程,得2x²-5x+2=0,

解得x₁=2,x₂=

,∴AD=

,(8分)

∴▱ABCD的周长=2×(2+

)=5.(9分)

19.【参考答案】(1)设每天生产量增长的百分率是x,

根据题意,得300(1+x)²=432,

解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不合题意,舍去).

答:每天生产量增长的百分率是20%.(4分)

(2)设增加y条生产线,则每条生产线的最大产能为(900-30y)个/天,

根据题意,得(900-30y)(1+y)=3 900,

整理得y²-29y+100=0,

解得y₁=4,y₂=25.

∵要节省投入,∴y=4.

答:在既增加产能又要节省投入的条件下,应该增加4条生产线.(9分)

20.【参考答案】(1)-2　-1(2分)

解法提示:将点(0,0),(1,3)代入函数y=x²+ax-4|x+b|+4(b<0)中,得

解得

(2)画出函数图象如下.(5分)

函数图象关于直线x=1对称(答案不唯一,合理即可)(7分)

(3)-

≤m≤2.(10分)

解法提示:当直线y=x+m与抛物线y=x²+2x(x<0)只有一个交点,以及直线y=x+m经过点(1,3)时,直线与函数图象有3个交点,

∴当-

≤m≤2时,方程x²+ax-4|x+b|+4=x+m至少有3个不同的实数解.

21.【思路导图】

(1)知最高点坐标设顶点式+抛物线过(0,0)→a值→抛物线解析式

(3)设小球离斜坡的竖直距离为h→得到h关于x的解析式→h的最大值

【参考答案】(1)设抛物线的解析式为y=a(x-6)²+12,

由题中图象可知,该抛物线过点(0,0),

∴0=a(0-6)²+12,

解得a=-

.

即抛物线的解析式为y=-

(x-6)²+12.(4分)

(2)小球M能越过这棵树.(5分)

理由:当x=3时,y₁=

×3=1,

此时树顶端距离x轴的高度为1+7=8.

当x=3时,y=-

(3-6)²+12=9,

∵8<9,∴小球M能越过这棵树.(7分)

(3)设小球M在飞行过程中离斜坡OA的竖直距离为h,

令-

(x-6)²+12=

x,解得x₁=0,x₂=11,

故x的取值范围是0≤x≤11.

由题意可得h=-

(x-6)²+12-

x=-

(x-

)²+

(0≤x≤11).

∵-

<0,

∴当x=

时,h取得最大值,最大值为

.

答:小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大竖直距离是

.(10分)

22.【参考答案】(1)90° (3分)

 (2)∠NDE的大小不变.(4分)

证明:∵∠ACB=∠MCN=90°,

∴∠MCA=∠BCN.

在△MAC和△NBC中,

∴△MAC≌△NBC,

∴∠AMC=∠BNC.

又∠MFD=∠NFC,

∴∠MDF=∠FCN=90°,

即∠NDE=90°.(7分)

(3)AC=2.(10分)

解法提示:由(2)可得△MAC≌△NBC,

∴∠NBC=∠MAC=15°.

设BC与AD交于点H,

∵∠AHC=∠BHD,

∴∠BDH=∠ACH=90°.

在Rt△ABD中,∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°,

∴∠BAD=30°,

∴AB=2BD=2

,

∴在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC=2.

高分突破 类比探究型问题的解题方法
(1)根据题干,结合分支条件解决第一问;
(2)用解决上一问的方法类比解决下一问,如果不能,两问结合起来分析,找出不能类比的原因和不变特征,依据不变特征,探索新的解题方法(照搬字母,照搬辅助线,照搬全等或以后要学习的相似等,也就是知识的迁移).

23.【参考答案】(1)(0,1)和(-2,1)(2分)

解法提示:当x=0时,y=1,

∴抛物线与y轴交于点(0,1),极限分割线为y=1.

∵抛物线的对称轴为直线x=-1,

∴极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标为(-2,1).

(2)由题意知点C(0,n),则点D的纵坐标为n.

∵抛物线经过点A(-1,0),

∴-

×(-1)²+m×(-1)+n=0,

∴n=m+

.(4分)

∵y=-

x²+mx+n,

∴对称轴为直线x=m,

∴点D的横坐标为2m,即点D(2m,m+

).(6分)

(3)画示意图如图所示,设CD与对称轴交于点G,由∠CDF=45°,易得DG=GF,点P的坐标为(m,

m²+m+

).

由(2)知点C(0,m+

).

又EF垂直平分OC,

∴|m|=

|m+

|,

解得m=

或m=-

.(8分)

(分类讨论思想)当m=

时,y_P=

×(

)²+

+

=

,

∴点P的坐标为(

,

).

当m=-

时,y_P=

×(-

)²+(-

)+

=

,

∴点P的坐标为(-

,

).

综上所述,点P的坐标为(

,

)或(-

,

).(12分)