低通抽样定理的理解

带通信号抽样速率的一统性研究（篇一）:低通抽样定理的理解

写在前：

  这是笔者第一篇CSDN博客，希望未来保持更新和分享，督促自己学习和思考，也希望能有助于小伙伴们的解惑，内容是关于通信和信号处理方面的。我现在基本还是通信和信息的小白，会不断学习。如果内容有出错或者不够严谨的地方希望指正，相互交流，共同进步。
  本篇是《带通信号抽样速率的一统性研究》的篇一，基础知识部分。从频域和时域两个角度对低通抽样定理进行了探讨和理解。

  在通信与信息系统中需要将一个时间连续信号（模拟信号，时间和幅度上均连续）通过抽样（或称为采样）来转换为时间离散信号（时间离散，幅度不离散），继而通过量化、编码得到数字信号（时间离散，幅度离散）。数字信号相对于模拟信号具有便于存储、处理、传输等优点。我们只探讨抽样过程和其对应的信号恢复过程。

  经过抽样得到的离散序列需要能够还原出原来的模拟信号，这也就意味着抽样过程完整地保留了原信号的信息。抽样过程追求高效，离散序列的长度被期待尽量短（对应抽样速率尽量低）。

  抽样定理包含两个内容：低通抽样定理和带通抽样定理。我们先从低通抽样定理入手。

  低通抽样定理：给定最高非零频率为fH$f_H$fH​的带限信号m(t)$m(t)$m(t)，如果取抽样间隔Ts<1/(2fH)$T_s<1/(2f_H)$Ts​<1/(2fH​)（即抽样速率fs>2fH$f_s>2f_H$fs​>2fH​，有些资料的表达为fs≥2fH$f_s\ge2f_H$fs​≥2fH​），则m(t)$m(t)$m(t)由其样值序列{mn=m(nTs)，n为整数}$\big\{m_n=m(nT_s)，n为整数\big\}${mn​=m(nTs​)，n为整数}唯一确定，即
m(t)⟷只要fs>2fH{mn，n=0,±1,±2,…}$m(t)\stackrel{只要f_s>2f_H}{\longleftrightarrow}\big\{m_n，n=0,\pm1,\pm2,…\big\}$m(t)⟷只要fs​>2fH​​{mn​，n=0,±1,±2,…}

  低通抽样定理中，抽样速率必须大于2fH$2f_H$2fH​，该频率2fH$2f_H$2fH​通常称为奈奎斯特频率。对于低通或基带信号，fH$f_H$fH​正是信号的带宽B$B$B，因此其奈奎斯特频率为2B$2B$2B，而采样率必须满足fs>2B$f_s>2B$fs​>2B。

  下面采用图示的方式，对抽样定理给予简单的证明。已知带限信号为m(t)$m(t)$m(t)，其频谱为M(f)$M(f)$M(f)，如图1.（a）和（b）；抽样脉冲序列为周期信号冲激串δT(t)=∑∞n=−∞δ(t−nTs)$\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT_s)$δT​(t)=∑n=−∞∞​δ(t−nTs​)，其频谱为δT(f)=1Ts∑∞n=−∞δ(f−nfs)$\delta_T(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(f-nf_s)$δT​(f)=Ts​1​∑n=−∞∞​δ(f−nfs​)。

抽样后得到ms(t)=m(t)×δT(t)=∑∞n=−∞m(t)⋅δ(t−nTs)=∑∞n=−∞m(nTs)⋅δ(t−nTs)$m_s(t)=m(t)\times\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty m(t)\cdot\delta(t-nT_s)=\sum_{n=-\infty}^\infty m(nT_s)\cdot\delta(t-nT_s)$ms​(t)=m(t)×δT​(t)=∑n=−∞∞​m(t)⋅δ(t−nTs​)=∑n=−∞∞​m(nTs​)⋅δ(t−nTs​)，如图1.（c）。

由频域卷积性质可得：
Ms(f)=M(f)∗δT(f)=M(f)∗1Ts∑∞n=−∞⋅δ(f−nfs)=1Ts∑∞n=−∞M(f)∗δ(f−nfs)=1Ts∑∞n=−∞M(f−nfs)$M_s(f)=M(f)\ast\delta_T(f)=M(f)\ast\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty\cdot\delta(f-nf_s)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty M(f)\ast\delta(f-nf_s)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty M(f-nf_s)$Ms​(f)=M(f)∗δT​(f)=M(f)∗Ts​1​∑n=−∞∞​⋅δ(f−nfs​)=Ts​1​∑n=−∞∞​M(f)∗δ(f−nfs​)=Ts​1​∑n=−∞∞​M(f−nfs​)
如图1.（d）

图1 抽样的时域与频域过程

  抽样的频域过程是频谱按fs$f_s$fs​进行周期重复，而条件fs>2fH$f_s>2f_H$fs​>2fH​保证了重复过程中频谱彼此不重叠。当fs$f_s$fs​低于该条件时，抽样过程是“欠抽样”的，这时，频谱中必然出现交叠，称为混叠现象。

图2 抽样、还原、内插

  从图1.（d）可见，由Ms(f)$M_s(f)$Ms​(f)还原M(f)$M(f)$M(f)的方法是实施低通滤波（LPF），即m(t)=Ts×LPF[ms(t)]$m(t)=T_s\times LPF[m_s(t)]$m(t)=Ts​×LPF[ms​(t)]

其中，LPF的高度是1，截止频率控制在重复频谱的间隙内。理想情况下，简单地取带宽BLPF=fs/2$B_{LPF}=f_s/2$BLPF​=fs​/2即可，因此，LPF的冲击响应为h(t)=fssinc(fst)$h(t)=f_ssinc(f_st)$h(t)=fs​sinc(fs​t)，于是又得m(t)=Ts×[ms(t)∗h(t)]=Ts×[∑∞n=−∞m(nTs)⋅δ(t−nTs)∗h(t)]=∑∞n=−∞mn⋅sinc(fs(t−n/fs))$m(t)=T_s\times [m_s(t)\ast h(t)]=T_s\times\bigg[\sum_{n=-\infty}^\infty m(nT_s)\cdot\delta(t-nT_s)\ast h(t)\bigg]=\sum_{n=-\infty}^\infty m_n\cdot sinc\big(f_s(t-n/f_s)\big)$m(t)=Ts​×[ms​(t)∗h(t)]=Ts​×[n=−∞∑∞​m(nTs​)⋅δ(t−nTs​)∗h(t)]=n=−∞∑∞​mn​⋅sinc(fs​(t−n/fs​))

  可见，从时域上看，还原m(t)$m(t)$m(t)的过程就是用sinc(x)=sinπxπx$sinc(x)=\frac{sin\pi x}{\pi x}$sinc(x)=πxsinπx​函数在样值点之间进行内插，如图2.（b）和（c）所示。sa(x)=sinxx$sa(x)=\frac{sinx}{x}$sa(x)=xsinx​被称为抽样函数，可知sinc(x)=sa(x)$sinc(x)=sa(x)$sinc(x)=sa(x)。

  至此，我们从频域角度对抽样后的离散序列能恢复原模拟信号进行了理解。

  当初学习这一块时跟着课本从频域角度理解了，时域角度来看觉得很反常识，有点想不通，后来思索了。敲这么多，其实只想写下面这几段，这些是自己从时域来看的思考（当然也牵扯频域）。时域角度的物理意义是什么，如何理解。模拟信号在时间上连续意味着构成信号的点的个数是无穷的，抽样定理却告诉我们可以用离散的序列（有限的样值点）来完全代替模拟信号，这不是意味着有限个点可以表征无穷个点吗。

  原来的模拟信号是已经给定的一条曲线，这又意味着给定了有限个点后只可以绘出一条特定的曲线，也即恢复出原来的模拟信号。而我们知道，对于给定的两个点，它们之间存在无数条路径来连接它们；对于给定的一系列的点，它们之间也存在着无数条路径来连接它们。

  但，对于抽样序列而言，这里发生了变化，事实上只存在着一条路径来连接它们。

  不同的路径就是不同的信号，在频域上体现在对应不同的频谱。对于高频部分为零的信号而言，选取其中的两点或者一系列的点，它们之间将不会出现急剧震荡的路径段（因为具有高频性质），如图3中的虚线路径s1$s_1$s1​和s3$s_3$s3​。当频谱有了限制之后，信号就要被限制，路径集合也就在缩小。当频谱特定后，信号就被唯一确定了下来，抽样序列所能确定的路径也就是唯一的一条了。

图3 路径说明

  从这里，我们可以窥见到，频谱受限的模拟信号尽管由无穷个点构成，但是这无穷个点却表现出了极大的相关性以至于可以由相当少的有限的点来完全表征这无数个点。低通抽样定理就是它的体现和应用。

  《带通信号抽样速率的一统性研究》的篇二，基础知识部分，参见带通抽样定理的理解。
  《带通信号抽样速率的一统性研究》的篇三，我的个人探究部分，是当初看书本学习后进行的另外的探讨，参见带通信号抽样速率的一统性研究。

  注：本篇中的部分内容和图例参考了中兴的《对话通信原理》和李晓峰主编的《通信原理》