今天去了百度的代数几何吧，总觉得学代数几何好像许多人许多书还没看，就开始网上评论这个书如何如何，那个书如何如何。我觉得这样或许会害人。所以就发在这，最好他们看不见，免得看见了来骂我。我只是一个研三的小学生，在代数几何的路上，连起步都算不上。说实话，代数几何和代数数论这门学问，真的是连上路都要很长时间的积淀的。当然，这里存在我主观不努力，以及理解力不强的因素，可是也正因为此，我觉得我可以提出一个相对现实而可行的学习代数几何的方案。
首先是如何看待代数几何，该怎么去学。我的体会是，这不是一遍能够学会的东西。所以基本上要有一个从一只半解的大概了解到逐渐熟悉的过程。但是熟悉到一定程度，就不得不去啃一本书，把细节都弄清楚。这两者都是不可或缺的。只是在了解，说实话就是没有真的学会。如果没有一开始的了解，一下子想全弄懂，工程又很浩大。我有过许多弯路，也有过一些正确的选择，那么就在这，把一个我觉得相对好一些的方法列在这。
接下来就是步骤了。
首先，学代数几何，一上来就想绕开Grothendieck，那就坏了。这是绕不开的，就现代代数几何来说，不管怎么讨厌，或者如何不爽，Grothendieck的语言是绕不开的。所以一上来，就应该从交换代数学起。但是学交换代数这么抽象的东西，又不免要陷入一种迷茫：不知道自己要干什么。一开始的学习，目的性强才容易进步。所以我建议，学代数几何和代数数论，你要学的第一本书就是让你找到感觉的书，但是同时要让你知道你要学的东西有多难，又不至于篇幅太大，又不太深，又适合中国人读，那只有一本书可以胜任：
华罗庚 《数论导引》
看完这本书，我们不得不赞叹华老的天才，许多东西别人需要多少理论才能理解，他一下子就搞出来了。可是这不是现代数学最直接的想法，理论很重要，绷住这根弦。永远不要小看这本书，华老不着痕迹的讲了一些数论，可是这里面有理想理论，有模函数，有自守型，也有类域论，只是他没告诉你有这些。
这本书不需要太长时间，一个多月吧，应该能看完。习题不用太做，因为实际上大部分都是线性代数题。这是一本具体的书，我建议的顺序就是：看一本具体的，看一本抽象的，再看一本具体的，再看一本抽象的。看完华老的书，接下来该正儿八经的学交换代数了。可是太现代了，很时髦的交换代数反而不适合现代代数几何环层空间的那套语言，比较古典抽象的书，是
GTM28 Oscar Zariski Commutative Algebra I
只要学上册就可以了。下册不用学。这本书有域论，诺特环论，整性和准素分解，很多定理都是诺特和希尔伯特原汁原味的证明，很值得记忆的一些证明。这本书没有习题。
接下来差不多就可以去学代数几何了。这个时候有两条路，都是可取的。那么我们先从第一条路走下去：我们直接去搞Grothendieck的那一套。最简单的书：
GTM76 Iitaka Shigeru (饭高茂) Algebraic Geometry 第1,2章， 第三章可看可不看。后面的都不用看。
这主要是双有理几何。英文版最精彩的就是后补上的第一章：概型。这是我所知道的所有概型的书里面，最直白，最简单的一个。从不可约空间开始，一直讲到什么叫proper，这是很不容易的。特别是对base change的强调，非常精彩。读者需要check的细节很少，几乎是面面俱到，自给自足，前两章没有超链接，除了Zariski连续定理是没证的之外，其他的都很细致。读者通过对留下的仅有的一些简单结论的验证，可以加深对base change的理解。
好，大家也看懂了，我的这个顺序，就是数论-代数-代数几何的循环。
看了这些，听报告也好，上课也好，别人说的话已经不那么像天书了。接下来需要的，就是扎实的开始学大板砖了。
Jurgen Nuekirch Algebraic Number Theory 前三章。
这本书是非常现代的。而且它最大的魅力，是它非常强调实分析在数论中的作用。看完了华罗庚的书，再来看这本书，会有种很踏实的感觉。第二章的局部域，写得简练而精确。第三章的k理论，是日后代数几何学的一个前兆。在还不知道什么是曲线上的黎曼罗克定理的时候，就知道了算术版本的黎曼罗克定理，是不是很酷？后面的欧拉-闵科夫斯基特征理论，解释了数域的整数环上的一维概型与曲线上的代数几何学千丝万缕的联系，是一个基础。第四章后面的类域论，写得太抽象，不适合读。前三章足矣。
Charles A Weibel An Introduction to Homological Algebra
这是躲不过去的，不过可以只看结论和证明，需要太深的交换代数只是的个别章节跳过就可以了。但是至少要读前6章，Kozul Complex 和谱序列是一定要懂的，同伦论的地方可以量力而为。
接下来这两本书看一本就可以了。
或者是 GTM52 Robin Hartshorne Algebraic Geometry的 第2,3章
要么是Illusie的 Topics in Algebraic Geometry
我比较推荐后者，因为后者的同调代数用的更多，是典型的法国人的书，总之这一轮学代数几何的目的就是抠上同调和微分层。当然，如果你说这时候我去看EGA看到3 1/2 我也没意见。不过前提是你得去学法语！
看完这些，一年多过去了。听报告和上课，已经可以听懂一些东西了。现在，你有资格说你“不懂代数几何”了，为什么呢？别人问你，懂代数几何吗？“不懂。”
“可是，你可以讲给我，我说不定就听懂了！”
我的代数几何，也就到这个程度。不过我知道接下来应该干什么，所以，听我接着说吧。接下来该懂一些现代的数论的基本理论了。
我还是觉得分析很重要，不过为了赶紧学懂类域论，最捷径的方法没过于看一本叫Number Fields 的一大帮人写的书，里面的局部类域论是Serre写的，整体类域论是Tate写的。具体是哪本，我也不知道书名，杨老师只给我印了那三章。还包括前面一章群的上同调。
可是，如果你觉得那根本不能称之为“书”，而你一定要读书的话，那就下面两个二选一：
Serge Lang Algebraic Number Theory
Andrey Weil Basic Number Theory
接下来是代数，已经学了Hartshorne或者Illusie的书了，这一段要强化一下交换代数。有两种选择，
学了Hartshorne的人，做题很多了，可是书上好多超链接没有搞懂，那么就恶补Matsumura的Commutative Rings
学的是Illusie的人，没怎么做题，需要补题，就去读GTM150，David Eisenbud Commutative Algebra with a view of Algebraic Geometry，做做题。附录不用看。
这时候开始学代数几何了。这里就提到了我说的第二条路：如果是按照我刚才说的那条路走，此时已经学了一大堆Grothendieck，可是对代数几何会出现的现象还是不甚了解。那么就需要读一本具体些的书。小册子就可以了，就是GTM130 Joe Harris Algebraic Geometry ，放松放松。
接下来，就要进入算术几何学的学习了，在这个时候，数论已经成了短板。如何最直接强化数论呢？需要连续看两本书。第一，是卡拉楚巴的《解析数论基础》，有中译本。小册子，验证一遍就行了。
然后是Jurgen Neukirch的Algebraic Number Theory 的最后一章。总之，要把zeta和L搞清楚一点。
接下来学代数。也是需要读两本书。
第一本也是一本小册子。黎景辉的《拓扑群引论》。把分析和代数结合起来，这对数论很重要。
第二本是线性代数群。随便哪本都行，都不是很厚。
最后是一轮几何学。有三种选择，都是对的。按个人喜好：
选择一：你懂法语，OK，把EGA读完，完事大吉。
选择二：David Mumford Abelian Variety 你准备好进入算术的领域了。
选择三：我觉得我的代数几何不够好。特别适合那些在这个指导下对交换代数一知半解去读了GTM52的那些人。好吧，不放心，Phillps Griffis Joseph Harris Principles of Algebraic Geoemtry 。800多页的例子，够踏实了吧？！
基础学完了，后面该学什么，我会慢慢给这篇东西加个续集。等我慢慢学过再说吧。
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