角力中的平衡点：纳什均衡

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2015-06-03 04:32:35 来源：北京日报

约翰·纳什在讲演中。

方弦

万事皆为博弈

博弈论翻译自英语的“game theory”，原意是“游戏的理论”。在某种意义上，可以说博弈论就是对于游戏的研究。“石头剪子布”可能是大家最熟悉的游戏。一般意义上的博弈也非常类似，其中有数位参与者，每人可以自由选择一定的行动，最后根据给定的规则判定每个人的得失。

博弈的种类繁多，从简单的“石头剪子布”到复杂的象棋，都算是博弈。广义地说，社会上很多经济活动，小至选择商品和购买保险，大至公司并购和货币政策，都可以抽象为某种博弈。这就是经济学家对博弈论感兴趣的原因。

但类似象棋这样的博弈，需要每个玩家反复做多次选择，研究的难度相当大。饭要一口一口吃，在博弈论发展的早期，数学家考虑的都是像“石头剪子布”那样，所有玩家都知道同样的信息，而每个玩家只需要同时做一次选择就能决出确定结果的博弈。在这种博弈中，玩家有多种策略的选择。比如一直出石头，或者各以三分之一的概率选择三种手势，这都是可行的策略。

数学家希望能计算每个博弈中收益最大化的最优策略。因为我们事先并不知道对手的策略，所以希望找到一个即使在最坏情况下仍然能够最大化收益的策略。形象地说，就是“做最好的准备，做最坏的打算”。但这种最优策略是否存在呢？博弈论的开山祖师、数学家冯·诺伊曼证明了，对于所谓的“零和博弈”，也就是一方的胜利相当于另一方的失败的游戏，这种最优策略必定存在。我们平时玩的游戏都是零和博弈。

但这毕竟不是一个你死我活的世界，虽然一方的得益常常意味着另一方的损失，但双赢的局面也能存在。冯·诺伊曼的定理无法处理各方收益总和不为零的情况，在这种“非零和博弈”下，因为双方的收益没有联系，所以最优策略不总是存在。那么，在这类博弈中，应该如何选择策略呢？

妥协才能共赢

举例来说，假设你很喜欢粤菜，而你的朋友喜欢西餐。今天晚上你们打算出去就餐。如果分开吃的话，两人都会觉得独自用餐索然无味。如果一起吃粤菜，两位会高兴，但你会更高兴一些；如果吃的是西餐，则是你的朋友更高兴。现在两人分别从家里出发，应该选择什么策略呢？

这是一个典型的非零和博弈。在这场博弈中，最好的情况当然是两人一起用餐。但如果我们用零和游戏中最优策略的方法分析的话，每个人应该采取的策略显然是去吃自己喜爱的餐点，这种“最优策略”带来的结局却是最糟糕的。矛盾在于，在零和游戏中，因为玩家的收益就是对方的损失，所以玩家清楚对方的目的就是减少玩家本人的收益。但现在双方的得失并不矛盾，玩家无法得悉对方的想法，之前的“最优策略”自然无效。我们需要一个更好的概念来涵括对方的想法。

假设我们知道对方希望采取的策略，比如说你朋友希望迁就你吃粤菜，那么，你最好的选择当然是吃粤菜。我们将这种情况记作（粤菜，粤菜），前者是你采取的策略，后者是对手采取的策略。在这种情况下，每个人都没有动力改变自己的策略，包括你朋友，即使他比较喜欢吃西餐，但在你不改变策略的前提下，他如果决定吃西餐也只能一个人吃，还不如跟你一起吃没那么喜欢的中餐。这种情况就是这个博弈的一个纳什均衡。

更一般地说，在某个博弈中，假设每位玩家都已经选定了自己的策略，并且每个人都知道各自的策略。这时，如果每位玩家在别人不会改变策略的假设下，即使改变自己的策略，也不会带来更高的收益，那么这种情况就称为一个纳什均衡。纳什均衡是一个神奇的稳定点。在一切不是纳什均衡的情况中，都会有玩家希望改变策略来打破现况。而在纳什均衡中，每位玩家的策略都是当前情况下的最优策略，他们都没有动力改变自己的策略，博弈于是达到了平衡点。

一个博弈可能有不止一个纳什均衡。在之前你与朋友的博弈中就有两个纳什均衡点，（粤菜，粤菜）和（西餐，西餐）。这时，如何选择均衡点呢？如果你的朋友对西餐非常执着的话，他可能会以一些代价（比如说送你两罐啤酒）来换取你同意去吃西餐，而你也可以跟他讨价还价，比如除了啤酒还跟他要点花生。在拥有多个纳什均衡的博弈中，双方如何通过协商选取某个均衡的问题，就叫讨价还价问题。纳什同样解决了这个问题。

纳什提出“纳什均衡”概念时，刚刚开始在普林斯顿大学攻读博士。他同时证明了每个博弈都存在至少一个纳什均衡。他将博弈论作为博士论文题目，以这些研究为基础，在一年半内就完成了博士学业，这无论在什么时代都是极高的速度，也能说明纳什的天才之处。

制度引导均衡

因为纳什均衡的概念能延伸到非零和博弈上，而现实生活中的博弈往往是非零和的，所以纳什均衡在经济学上有着更重要的意义。

纳什均衡能够用于解释很多经济现象，比如“公地悲剧”，也就是公共物品往往会被无节制地使用殆尽的现象。比如污染的河水和由于放牧而沙漠化的草地，这往往是公地悲剧的体现。如果某项公共资源的使用所导致的代价会平均分摊到每个人头上，那么在这个博弈中，无论在哪一个纳什均衡点上，公共资源都会被过度消耗，每个人的收益反而不如对资源有节制的使用。空气污染、全球暖化、人口问题，这些都是公地悲剧的体现。

但除了解释以外，纳什均衡也能用作解决问题的参考工具。通过不同的经济手段改变博弈中每个人的收益，就可以将均衡点引导到对所有人更加有利的情况。比如在公地悲剧中，如果按照每个人消耗的资源来征收费用，再用这些收入帮助公共资源的恢复，这就相当于将使用资源的代价从平摊变成与使用量挂钩，均衡点就会改变，人们的最佳策略不再是竭泽而渔，而是按需取用。通过对纳什均衡的研究，我们能设计出更好的制度，保证即使是自私的每个人，在均衡点的引导之下，都能作出有益于社会福祉的行动。

除此之外，纳什均衡在经济学上还有许多应用。在各种投标与拍卖中，拍卖一方希望以尽可能高的价格将商品拍卖出去，而竞拍一方往往有多位参与者，他们希望能以尽量低的价格拍得商品，而双方都不知道各自的底牌，只能通过叫价来相互试探。这时，如何设计拍卖的规则，使得拍卖能高效完成而双方的收益都最大，这就是所谓“拍卖理论”研究的问题。拍卖可以很复杂，比如说对各地电视频道的拍卖，竞拍一方可能需要获得多个地区相同频道，才能获得相当的收益。但利用纳什均衡，即使对于复杂的拍卖，很多时候我们仍能设计出对应的拍卖机制，保证拍卖的成功。

但也有一些经济现象不能用纳什均衡来解释，比如说银行挤兑。这是因为在建立模型时，我们假定人们是无限理性的，只会以最优的策略最大化自己的收益，这是对现实的简化，实际上人们的行为要复杂得多，不一定总是理性的。人们在实际生活中的选择往往与纳什均衡很接近，但有时也会有一定的偏差。对这种偏差的研究，是目前行为经济学的研究方向之一，可以视为对以纳什均衡为代表的传统博弈论的一种良好补充。

虽然纳什教授不幸逝世，但他提出的纳什均衡已经深入博弈论与经济学研究的核心。后来者仍会沿着他开创的道路前行。所谓科学，就是来自这样的日积月累与前赴后继。

（作者为巴黎第七大学组合数学博士生）

新闻背景

不久前，电影《美丽心灵》的原型、1994年诺贝尔经济学奖获得者、数学家约翰·纳什与他的妻子在车祸中不幸去世，引发了世人的普遍关切。

纳什当年获诺奖的颁奖词中写道：“纳什发展了一种非合作博弈上的均衡概念，后来它被称为纳什均衡。”那么，什么是博弈？什么是均衡？这些与经济学又有什么关系？