2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案

一、选择题

 

1．D

 

解：第k行的最后一个数是

，故第100行的最后一个数是

．

 

2.  B

 

解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.

 

3．B

 

解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式

≥0，且为完全平方数．

 

≥0，又2≥

，所以，

 

当

时，解得 

；

 

当

时，解得 

．

 

4.  C

 

解：当函数为二次函数时，有

 

                    k²－1≠0，

 

                       

=(k+1)²－4(k²－1)＜0.

 

     解得k＞

，或k＜－1．

 

 当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．

 

     当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.

 

     所以，k的取值范围是k＞

，或k≤－1.

 

5.  B

 

 

（第5题）

 

解：如图，设

，作

BKCE，则

 

，

 

于是A，B，E，C四点共圆. 因为

是

的中点，所以

，从而有

 

，

 

即

平分

.

 

二、填空题

 

6.  30

 

 

（第6题）

 

解：如图，连接PD，则

 

．

 

7．180

 

解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知

 

，   

．

 

消去z，得

．

 

设甲车出发后t分钟追上乙车，则

，即

 

，

 

解得

．

 

8．＜

 

解：由a_n=

=

， 得

 

a₁+a₂+…+a₂₀₁₂=

 

=

＜1.

 

9．25

 

解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为

，则有

 

1≤

≤9，

 

且

 

，                  （1）

 

即              

，            （2）

 

于是

．因此

中必有一个取5．不妨设

，代入（1）式，得到

 

．

 

此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但

时，两种放法重复．因此共有

 

9×3－2 = 25种放法．

 

10.  6

 

 

（第10题）

 

解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.

 

由切线长定理得

 

AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=

(a+b+c).

 

在Rt△AIF中，tan∠IAF=

，即

 

tan

.

 

同理，  tan

， tan

.

 

代入已知等式，得

 

.

 

因此 a+c=

.

 

三、解答题

 

11. 解：已知

，又

，且

，所以b，c是关于x的一元二次方程

 

                                              

 

的两个根.

 

故                  

≥0，

 

≥0，

 

即                         

≥0，

 

所以

≥20．

 

于是

≤-10，

≥10，从而

≥

≥10，故

 

≥30，

 

当

时，等号成立．

 

12. 解：将abc=d 代入10ab+10bc+10ca=9d得

 

10ab+10bc+10ca=9abc.

 

因为abc≠0，所以，

.

 

不妨设a≤b≤c，则

 

≥

≥

＞0.

 

于是，               

＜

≤

，

 

即                         

＜

≤

，

 

＜a≤

.

 

从而，a=2，或3.

 

若a=2，则

.

 

因为

＜

≤

，所以，

＜

≤

，

＜b≤5.

 

 从而，b=3，4，5. 相应地，可得 c=15，

(舍去)，5.

 

当a=2，b=3，c=15时，d=90；

 

当a=2，b=5，c=5时，d=50.

 

若a=3，则

.

 

因为

＜

≤

，所以，

＜

≤

，

＜b≤

.

 

从而，b=2（舍去），3.

 

当b=3时，c=

(舍去).

 

因此，所有正整数解为

 

(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，

 

(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，

 

(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).

 

13. 证明：延长DA至

，使得

，则

，于是

 

△DPC∽△

，

 

故

 

，

 

所以PO∥

．

 

 

（第13题）

 

又因为△DPO ∽△

，所以

 

．

 

同理可得           

，

 

而AB∥CD，所以

，故OP＝OQ．

 

14. 解：（1）由题设可得

，或

，或

 

.

 

    由

，解得

；

 

    由

，解得

；

 

    由

，解得

.

 

    所以满足题设要求的实数

.

 

    （2）不存在.

 

由题设

（整数

≥1）满足首项与末项的积是中

 

间项的平方，则有

 

                  

，

 

解得

，这与

矛盾.

 

    故不存在这样的数列.

 

    （3）如果删去的是1，或者是

，则由（2）知

，

 

或数列

均为1，1，1，即

，这与题设

矛盾.

 

如果删去的是

，得到的一列数为

，那么

，可得

.

 

    如果删去的是

，得到的一列数为

，那么

 

，开得

.

 

    所以符合题设要求的

的值为1，或

.