“数”与“形”的结合不仅体现的是一种重要的解题方法与策略，而且更是一种重要的数学思维、思想方法。首先是一种意识：能否在需要时建立这种联想;其次是一种思想：联系与转化的思想;是一种能力：借助数形结合解决问题的能力;是一种思考的方式，一种联想的方式、转化的方式：由数想到形，由形想到数；将数的问题转化为形的问题，将形的问题转化为数的问题，然后回到原问题的解决。这种试题大多借助相关图形的操作与剪拼、图象信息、网格、坐标等情境等进行创设，实现生活与数学，几何与代数的沟通与转化，现结合几例进行说明，一同感受与体会数学之美，“数”与“形”牵手之妙。
一、用形构建数
例1 在数轴上标出表示的点
解析：为圆周率，它一般与圆相联系，可在半径为1的圆上取一点P与原点重合，然后在数轴上不滑动的滚动一周，点P在数轴上的点即为
点评；本题巧妙地将无理数与形有机结合，化抽象为直观，例如等数也可借助数轴及勾股定理等知识解决。
二、用形酝酿与构建数或式的计算
例2 在数学活动中，小明为了求 的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求的值为 ；
（2）请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形．
解析：（1）这道题是等比数列题，但初中还没学习，学生不懂得运用。引导从数形结合的思想方法，把它设计为下列图形，便学生一目了然：就是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，便可得：++++……+＝1－
（2）可设计成利用正方形的对角线来平分正方形，用高平分等腰三角形的办法（如图）
点评：当涉及有关数或式的计算无法解决时,可借助与构建一定的几何图形(线段、正方形、圆、等腰直角三角形),通过表示其一定意义的长度、大小（面积）等表示其中有关的数或式的含义，进而使问题获得解决。
三、用形验证数学公式
例3 (2010年达州)如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为
A. B.
解析：用不同形式的代数式来表示同一部分的面积：图甲中阴影部分的面积间接计算为a2-b2，图乙中阴影部分的面积为直接计算为（a+b）（a-b）,而阴影部分的面积是不变的，故满足，故选C。
点评：在相关几何图形的剪接拼图操作过程中，借助面积的计算与推导，引导学习自主探究和发现平方差公式的意义，从中经历和体验数学知识的发生，发展，形成过程，也进一步加深对相关公式的几何意义理解与掌握，渗透了数形结合的数学思想和面积割补的思想与方法。
四、数形在网格中酝酿与生成
例4 (2010江苏苏州)．如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于 ．(结果保留根号及)．
解析：将扇形融入到网格中，便可发现这个扇形的半径、圆心角和扇形的弧长。利用勾股定理便可求出半径OA==，其中∠AOB=90°，弧长==，
点评：网格题能充分调动有关背景中的正方形，直角三角形，勾股定理等知识，并经历了观察、思考、猜测，动手操作、自主探索发现等过程.尤其是勾股定理、数形结合等思想的运用达到了极点。
五、用数形沟通函数、方程、不等式
例5 （2010年辽宁大连）如图，反比例函数和正比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
解析：根据对称性，可知另一交点坐标为（1,－2）, 要使，结合图象可知的取值范围为或，故选D。
点评：这是一道检测 “数形结合”思想的好试题，解一次函数与反比例函数相结合的题，要充分利用“交点在两个函数的图象上”这个有利条件，确定函数的关系式以及结合图象根据函数值之间的关系确定自变量的取值范围。一般地，两个函数，都对应着两函数图象，于是也就是对应着两个方程，从“数”的角度看，解方程就相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从“形”的角度考虑，解方程组相当于确定两种图象的交点坐标，所以函数及其图像与方程组之间有着密切的联系．
六、在坐标中构建与应用
例6 （2010江西）如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2）点A的坐标为（2，0）则点B的坐标为 ．
解析：有关弦AB的问题常作弦心距构造垂径定理，过点P作ｘ轴的垂线段，设垂足为H，得到HA=HB，结合坐标可得ＡＨ＝２．从而得到点Ｂ的坐标为（６,０）
点评：本题将坐标与圆有机巧妙结合，通过添加垂线段构造圆的垂径定理，有关弦的问题常作弦心距转化为垂径定理及直角三角形解决，在解题过程中要注意利用数形结合思想，写出点B的坐标．
七、数形在概率与统计中应用
例7 （2010辽宁锦州）如图是由四个全等的直角三角形围成的，若两条直角边分别为3和4，则向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是(不考虑落在线上的情形)( )
A. B. C. D.
解析：这四个全等的直角三角形围成的图形是正方形，其面积是（3＋４）2 ＝49，阴影区域也是一个正方形，其面积是32＋４2 ＝25，因此，飞镖落在阴影区域的概率是
点评：本题是一道借用几何图形的面积来计算概率的试题，考查了勾股定理、图形的面积、概率及数形结合等知识，解题关键是求出各个部分的面积．
八、在动态几何中酝酿数形
.例8 如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为秒, ∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( ).
思路点拨与解析：动点从圆心出发，沿 路线作匀速运动，主要是观察和分析圆心角、圆周角及圆的内部角之间的关系，当点P在O时为圆心角为90°，当点P在弧DC上运动时为圆周角始终为45°，当点P在线段OC与OD上运动时，∠APB的值始终在45°～90°之间，故本题选C。
点评：在解题方法上，“数”与“形”相互转化，动中化静，抓住运动变化过程中暂时静止的某一瞬间，进行观察联想，猜测，分析，借助数形结合的思想与方法，寻找与酝酿出相应的变量关系式，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的。
作者简介：曹经富，男，中学高级教师，数学教研组长，立足课堂教学，潜心钻研中考试题及解题研究，发表文章百余篇，主编书稿4本。联系方式：江西省安福县城关中学。邮编：343200
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