上小学的赵亮放学回家说:“今天的作业是剪图形,老师让剪三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形…,还让把剪好的图形拼成新的图形.”
在帮孩子完成作业的同时,我发现剪拼图形也挺有意思的做了一些研究,下面拿出来与大家分享.
注 这里讲的“剪”,只能沿直线剪;这里讲的“拼”,指图形拼完后不能有重叠部分,也不能有剩余部分.
1.平行四边形剪拼成一个三角形.
用“面积不变”的思想,平行四边形变三角形有两大类方法,每一大类都有无数种拼法.如图3,图7.
1.1一般的方法:
如图1,找出AB边中点E,作射线DA、射线CE,两条射线交与点D′.易证△AED′≌△BEC,将△BEC绕点E旋转180°,就和△AED′重合.这样将平行四边形ABCD沿CE剪开就可以拼成一个三角形(△DCD′).
如图2,也可以在BC边上找中点,作法同上.
图1 图2
那么是否只有这两种做法呢?当然不是,它的做法有无数种呀!下面我们来看一看.
1.2以动态的观点看问题:
如图3,找出AD、BC的中点G、H,而D′点是AB上任意一点(动点),作射线D′G和射线D′H,分别交DC所在的直线于E、F,易证△DGE≌AGD′,△HBD′≌△HCF, 这样平行四边形ABCD就可以拼成一个三角形(△EFD′).
当点D′在AB上移动时,产生的△EFD′也在变化,所以也就产生无数个三角形△EFD′也就有无数种剪拼方法.
图3 图4
图5 图6
1.2.1当点D′在AB上运动到图4位置时,△EFD′为锐角三角形.
1.2.2当点D′在AB上运动到图5位置时,△EFD′为直角三角形.
1.2.3当点D′在AB上运动到图6位置时,△EFD′为等腰(钝角)三角形.
1.2.4当点D′在AB上运动时,△EFD′能否为等边三角形?若不能什么条件下能?
1.3同样以动态的观点看问题,又有以下方法:
该方法实际上是1.1方法的一般化.
利用剪拼后“面积不变”S=ah=a(2h)还可以有如图7作法.D′点是AB上任意一点(动点),过D′点作D′A′平行且等于DA,易证△EAD≌ED′A′,△FA′D′≌△FCB, 这样平行四边形ABCD就可以拼成一个三角形(△DCA′).
当点D′在AB上移动时,产生的△DCA′也在变化,所以也就产生无数个三角形△DCA′也就有无数种剪拼方法.
同理,也可以将动点D′选在BC(或AD)上,方法原理同上面一样.
图7
2.平行四边形剪拼成一个特殊四边形.
2.1平行四边形剪拼成长方形.
如图8,过A点作AF⊥DC与F.易证Rt△ADF≌Rt△BCE,将△ADF剪下平移到△BCE的位置就拼成了长方形.
图8
2.2平行四边形剪拼成正方形.
平行四边形剪拼成正方形的过程较复杂,要先将平行四边形拼成长方形,再把长方形拼成正方形.下面通过图像来说明怎么把长方形剪拼成正方形的方法.
用“面积不变”的思路,我们可以将给定的矩形剪拼成正方形,如图9所示.请大家探讨有没有更好的方法.
2.3平行四边形剪拼成梯形.
同样以动态的观点看问题,有下述方法.
用“面积不变”的思路平行四边形变梯形的方法.如图10所示.
点E为BC的中点,F为AB上一动点(F不与A、B两点重合,思考为什么?),易证△FBE≌△GCE,将△FBE剪下使它和△GCE重合即拼成了梯形.(因为是动态的所以有无数种剪拼成梯形的方法.)
2.3.1当F点移动到A点位置时可拼成为三角形即1.1的情况.
2.3.2当F点移动到图11位置时可拼成为直角梯形.
2.3.3当F点移动到图12位置时可拼成为等腰梯形.
2.3.4如图13,另外以点E为AB的中点,G为BC上一动点,G在BC上运动(不包括B、C两点),原理同上也可以剪拼梯形.因为G在BC上运动,所以有无数种剪拼成梯形的方法.特别的当G运动到图13位置时,能剪拼成直角梯形.
2.4平行四边形剪拼成任意四边形.
如图14,在平行四边形ABCD的AC边上任取一点E(或者说点E是AC上一动点),过E点作AB的平行线,交BD于点F.在线段EF上任取两点G、H(或者说点G、H是线段EF上两个动点,不能到点E、点F的位置).分别过G、H作AC的平行线,交CD于K,交AB于L,作H点关于AB的反射点H′, 作G点关于CD的反射点G′,易证图中的相关三角形全等,从而得以剪拼成功.(因为是动态的所以有无数种剪拼成梯形的方法.)
3.任意四边形剪拼成平行四边形的方法.
将2.4的过程反过来则就成了将任意四边形剪拼成平行四边形的方法了.
4.任意四边形剪拼成长方形的方法.
只需要图14中,GG′⊥EF, HH′⊥EF剪拼的结果就是矩形.
5.梯形的剪拼.
5.1梯形剪拼成平行四边形.
如图15,点H是BC上的中点,过点H作AD的平行线交AB的延长线于E,交DC于G,易证△HEB≌△HGC, 将△HGC绕H旋转180°到△HEB的位置,就剪拼成了平行四边形.同理可以像图16那样剪拼.
5.2一般梯形剪拼成等腰梯形的方法.
如图17,作梯形中位线的中垂线,沿中垂线将梯形对折(作点D关于中垂线的对称点G)H为腰BC的中点,射线GH交AB的延长线于E点,易证△BEH≌△CGH,AD=EG从而可以剪拼成功.
同理,图18那样也可以.
5.3梯形变长方形.
可以先将梯形剪拼成平行四边形,再将平行四边形剪拼成长方形.或者用前面(4.任意四边形剪拼成长方形的方法.)讲的方法.
5.4特殊梯形的特殊变化.
例如:底角都是60°的等腰梯形变等边三角形.这要有特殊的方法,有兴趣大家可以研究一下.
如图:从图19到图24是剪拼的过程,供大家研究.
6.两个正方形剪拼成一个正方形.
这个问题简称“两方拼一方”,人教版八年级课本上有这样一个阅读.方法不止一种,下面我写几种供大家欣赏.
图25中,边长分别为a、b两个正方形连成一体,你能否在上面划两条直线,沿线把图形分成几块,然后拼成一个正方形而无剩余.
6.1方法一:
用剪拼后“面积不变”的方法,可知剪拼后的正方形边长为,那么只需要在图中找到两条这样的线剪开就可以了.如图26到图32是剪拼过程示意图.
以D点为圆心小正方形的边长b为半径作圆,交DC于H,如图27,则AH=FH=,易证图28中甲、乙两个三角形和图29中甲、乙两个三角形全等.将图28中的甲、乙放到图29的位置即完成了剪拼,图31是完成剪拼后的图形.(不做过多论述,看图.)
6.2方法二:
如图32,易证DG=,易证图33中的甲、乙、丙、丁分别和图34中的甲、乙、丙、丁全等.将图33中的甲、乙、丙、丁分别放到图34的位置即完成了剪拼,图35是完成剪拼后的图形.(不做过多论述,看图.)
6.3方法三:请大家看图36,不做详细介绍.
请大家继续探讨其它方法.
在看似简单的剪拼问题中,充满了数学思考和智慧,亲爱的读者朋友你会了吗?
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