一道竟赛题的思考

湖北省黄石市下陆中学702班　李　杰　指导老师：周国强

前不久竞赛卷上有这样一道填空题：

 

一列数按如图所示的规律排列，若第4行从左到右第2个数记为（4，9），那么数17应记作_________．

 

考完后，我是用数数的办法，得出答案的，虽做对了，但心里总觉得不是个滋味：本题如果是求一个较大的数（如168等）的位置，如果用死数的办法那又要数到猴年马月呀？于是，我作了如下的思考：

 

观察发现图中的数据排列有如下规律：

 

1．  从整体看，是从1开始的连续自然数排列；

2．  行数序号=该行数的个数；

3．  奇数行：从左到右依次增大；

4．  偶数行：从左到右依次减小；

5．  每行末端（最后一个数）具有如下特征：

奇行：右端数=

；

偶行：左端数=

．（n为行数序号）

解：首先确定数17所在的行：令

=17，即

=34。因为

和

是连续自然数，而乘积最接近34的连续自然数是5和6，但由于5×6＜34，所以17应在第6行．在来确定数17是该行的第几个数：因为第5行末端是

＝15，而第6行的数有6个且从左到右是依次减小（即从右到左依次增大），所以17是第6行从左到右的第5个数，故17应记为（6，5）．

 

有了这种解法，就不怕较大的数了，比如数2009在第几行，从左到右是第几个数，记作什么？令

=2009，即

=4018． 因为

和

是连续自然数，而乘积最接近4018的连续自然数是63和64，但由于63×64＝4032＞4018，所以2009应在第63行。现在来确定数2009是该行的第几个数：因为第62行末端数是

＝1953，而第63行的数有63个且从左到右是依次增大（即从右到左依次减小），所以2009是第63行从左到右的第56个数，故2009应记为（63，56）．

 

事实上，对于任一正整数M，欲知它在第几行从左到右第几个数，1．用公式

=M（M为正整数）找到最接近2M值的两个连续自然数a和b（a＜b），若a×b ＜2M，则数M一定在第b行，若a×b ＞2M，则数M一定在第a行．2．确定该数是从左到右的第几个位置：先用公式

=M，计算出b(或a)的前一行的最末端的数

＝

＝P(或

＝

＝P)（P为正整数），再依规律2、3、4，考虑b（或a）的奇偶性，若b（或a）是奇数，则数M一定在从左到右的第M－P个位置；若b（或a）是偶数，则数M一定在从左到右的第b－（M－P）+1（或a－（M－P）+1）个位置．

 

注：此文发表于<数理天地>初中版2009年第7期.