巧用韦达定理的推论

湖北省黄石市下陆中学　陈　勇

韦达定理揭示了一元二次方程的两根之和、之积与系数的关系，然而在学习中，我们经常还会遇到两根之差、之比、平方和等问题，如果能将它们与系数建立起来关系，直接用这种关系来解题，岂不妙哉？下面是韦达定理的三个推论，它会给大家带来惊喜．

 

推论一 设x₁、x₂是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，则

。

 

推论二 设x₁、x₂是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实根，令

,则

。

 

推论三 设x₁、x₂是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，则

。

 

利用上述推论来解题，显得简捷、明快、直观，对提高同学们的解题能力很有帮助，下面举例说明它们的应用．

 

　　一、求值

　　

例1 已知x₁、x₂为方程2x²＋2x－1＝0的二根，则|x₁－x₂|的值为____

　　

解: 由推论一，得：|x₁－x₂|=

　　

例2 设x₁、x₂是方程x²＋6x＋q＝0的两根，且3x₁＋2x₂＝0，则q＝____．

　 

解:由3x₁＋2x₂＝0，得

。　由推论二，得：

　∴q＝－216．

　　

例3 已知关于x的方程x²－(k＋1)x＋k＋2＝0的两实根的平方和等于6，求k的值．

 

解 设方程x²－(k＋1)x＋k＋2＝0的两根为x₁、x₂，

∴

，由题意知k²－3＝6，∴k²＝9，k＝±3．

　　

由于当k＝3时，原方程无实根，∴k＝3应舍去．故k的值为－3．

 

　　二、求系数间的关系

 

例4 如果方程x²＋px＋q＝0的一根为另一根的2倍，那么p，q所满足的关系式是____．

 

解：因为

，由推论二得

，即

。

　　

例5 方程x²＋px＋q＝0的两根之差与x²＋qx＋p＝0的两根之差相等，则p，q的关系式是____．      (A)p＝q； (B)p＋q＝－4； (C)p＝q或p＋q＝－4； (D)无关．

　　

解 设方程x²+px+q=0的两根为α，β，方程x²+qx+p=0的两根为α′，β′，则

，

。由题意得

=

，　

 

即(p－q)(p＋q＋4)＝0．∴p＝q或p＋q＝－4．故选(C)．

 

三、求最值

　　

例7 已知x₁、x₂是方程x²－(k－2)x＋(k²＋3k＋5)=0的两个实数根(其中k为实数)，则

的最大值是          。

 

解：∵

　　又∵△＝(k－2)²－4(k²＋3k＋5)≥0，

　　即3k²＋16k＋16≤0，∴解得

　　∴当k=-4时，

的最大值是18。