数学概念、方法、题型、易误点技巧总结──概率

湖南省常德市安乡县第五中学　龚光勇收集整理

１．随机事件

的概率

，其中当

时称为必然事件；当

时称为不可能事件P(A)=0；

 

2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=

。理解这里m、ｎ的意义。比如：

 

（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：

）；

 

（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①

；②

；③

；④

）  

 

3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。比如：

 

（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：

）；

 

（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.42⁵=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；

 

（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到  

  ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是            （答：

）

 

4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P(

)=1－P(A)；

 

5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B) 。提醒：

 

（1）如果事件A、B独立，那么事件A与

、

与

及事件

与

也都是独立事件；

 

（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A

B）＝1－P(A)P(B)；

 

（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（

）＝1－P(

)P(

)。比如：

 

①设两个独立事件A和B都不发生的概率为

,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：

）；

 

②某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；

 

③袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：

）；

 

④一项“过关游戏”规则规定：在第

关要抛掷一颗骰子

次，如果这

次抛掷所出现的点数之和大于

，则算过关，那么，连过前二关的概率是________（答：

）；

 

⑤有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为

且

，其相应的概率记为

，则

的值为_____________（答：

）；

 

⑥平面上有两个质点A、B分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是

，向上、下移动的概率分别是

和p，质点B向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。①求p和q的值；②试判断最少需要几秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率. （答：①

；②3秒；

）

 

6、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了

次的概率

(是二项展开式

的第k+1项)，其中

为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。比如：

 

（1）小王通过英语听力测试的概率是

，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_______（答：

）；

 

（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：

）

 

提醒：

 

（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。

 

（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；

 

（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。