【本讲教育信息】
一. 教学内容：
向量的综合应用
二. 重点、难点：
1.
2.
3.
同向时，
4.
反向时，
5.
6.
【典型例题】
[例1] 四边形ABCD满足
，判断ABCD的形状。
解：由已知：
∴
∴
同理
∴
ABCD
[例2] 四边形ABCD中，
，判断四边形ABCD的形状。
解：
∴
若
∴
与四边形ABCD不符
∴
∵
同理：
∴
同理
∴ 矩形ABCD
[例3] O为
内一点，求
的最小值。
解：令
，
，
∴
时，
∴ O为
重心
[例4]
为非
，
为何值时，
最小，并证明此时
解：
∴
时，
此时，
∴
[例5]
，
夹角为
，
为何值时，
与
夹角为锐角
解：
与
方向相同 ∴
∵
与
夹角为锐角 ∴
>0，且
∴
∴
∴
[例6] A（4，0），B（0，4），C（
）
（1）
且
，求
；
（2）若
，求
的值。
解：
（1）
∴
∴
（2）
[例7]
，
，若
，求
解：
∴
∵
∴
[例8]
，
，
（1）
时，求
夹角
（2）
，
最大值为
，求
解：（1）
（2）
①
时，
②
时，
∴
[例9] 已知
，求
与
的夹角。
解：
∴
∴
∴
∴
∴
[例10] 已知直线
与抛物线
交于A、B，O为原点，求
的取值范围。
解：
∴
∴
∴
设
∴
∴
【模拟试题】
1.
，
，则
夹角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 75° D. 135°
2. 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，
，则P点的轨迹一定过
的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
3. 已知
为单位向量，它的夹角为
，那
（ ）
A.
B.
C.
D. 4
4. 若
夹角为
，
，
，则
（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
5.
为非
，满足
且
，则
夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知
，
，若
，则
与
夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
7. 在
中，
，
，
，则
（ ）
A. 5 B.
C.
D.
8. 已知
，满足对任意
，恒有
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 若
，且
，则向量
与
夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
10. 已知
，
，关于
的方程
有实根，则
与
的夹角的取值范围（ ）
A.
B.
C.
D.
【试题答案】
1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. C 7. A 8. C 9. C 10. B
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