抛物线的几何性质

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

抛物线的几何性质

 

二. 重点、难点：

1. 重点：

    抛物线的性质，焦半径，焦点弦的应用，数形结合。

2. 难点：

注意抛物线与椭圆、双曲线的联系。

 

【典型例题】

[例1] 给定抛物线

，设A（

）（

），P是抛物线上的一点，且

，试求

的最小值。

解：设

（

）（

）   则

   

∴

∵

，

∴（1）当

时，

，此时当

时，

（2）当

时，

，此时当

时，

 

[例2] 过抛物线

的焦点作倾斜角为

的直线

，设

交抛物线于A、B两点，求

。

解：当

时，直线AB的方程为

由

得A（

）、B（

，

）  ∴

当

时，直线AB的方程为

由

得

设A（

）、B（

），则

∴

 

[例3] 过抛物线

的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

解：抛物线

的准线与对称轴的交点为（

），设直线MN的方程为

由

  得

∵ 直线与抛物线交于M、N两点    ∴

即

，

，

设M（

，

），N（

），抛物线焦点为F（1，0）

∵ 以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点

∴ MF⊥NF    ∴

  即

又

，

，

且

、

同号

∴

   解得

    ∴

即直线的倾斜角为

或

时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。

 

[例4] 过抛物线

的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求

的值。

解：如图所示，设A（

）、B（

），AB的方程为

由

得

    ∴

又 ∵

，

   ∴

 

∴

   ∴

   又

 

[例5] 如图，已知直线

：

交抛物线

于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使

的面积最大，并求这个最大面积。

解：由

解得A（4，4）、B（1，

），知

，所以直线AB的方程为

设P（

）为抛物线AOB这条曲线上一点，

为P点到直线AB的距离

    ∵

∴

     ∴

从而当

时，

因此，当点P坐标为

时，

 

[例6] 已知直线

与曲线

在第一象限有公共点，求

的取值范围。

解：如图，易知抛物线与

轴交于A（0，1）、B（0，3）

直线

恒过C（

），由图象及抛物线的延伸趋势可知

当

大于零且小于BC的斜率

时满足题意

而

，故

。

 

[例7] 设抛物线

的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//

轴，证明：直线AC经过原点O。

证法一：因为抛物线

的焦点坐标为F（

）

所以经过点F的直线AB的方程为

代入抛物线方程得

0

设A（

）、B（

），则

∵ BC//

轴，且点C在准线

上    ∴ 点C的坐标为

故直线OC的斜率为

即

也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O

证法二：如图所示，设

轴与抛物线准线

的交点为E，过点A作AD⊥

，D为垂足

则

。连结AC，与EF相交于N，则

，根据抛物线的几何性质，得

，

  

∴

   

∴ 点N是线段EF的中点，与抛物线的顶点O重合   ∴ 直线AC经过点O

证法三：设A（

）、B（

），由已知C得

直线AC的方程为

，把原点的坐标代入，得

   利用

得上面等式恒成立

∴ 直线AC经过点O

证法四：设A（

）、B（

），由已知得C（

），

  

∴

又 ∵ O是公共点    ∴ A、O、C共线，即AC过点O

 

[例8] 如果抛物线

上总有关于直线

对称的相异两点，试求

的范围。

方法一：设抛物线

上关于

对称的相异两点坐标为A（

）、B（

）

∵ 两点都在抛物线上    ∴

（1）－（2），得

     ∵

  ∴

（3）

（3）代入（2），得

∵

，且

相异    ∴

∴

   ∴

的取值范围是（

）

方法二：设抛物线上关于直线

对称的两点所在直线方程为

，代入

，得

∵

，且两点为相异两点    ∴

即

   （1）   设两对称点为A（

）、B（

）

则

，

   又 ∵

∴

，即

  （2）

（2）代入（1），得

   ∴

的取值范围是（

）

 

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 选择题：

1. 等腰直角三角形AOB内接于抛物线

，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则

的面积是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

2. 已知点（

）在抛物线

上，则

的最小值是（    ）

    A. 2    B. 3    C. 4    D. 0

3. 已知A、B是抛物线

上两点，O为坐标原点，若

且

的垂心恰是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

4. 已知点A（

），

的焦点是F，P是

上的点，为使

取得最小值，P点的坐标是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

5. 抛物线

与直线

的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到直线的距离为（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

6. 抛物线

的焦点F，点P在抛物线上，若

，则P点的坐标为（    ）

    A.

    B.

    C.

或

    D.

7. 过抛物线

的焦点作直线交抛物线于A（

）、B（

）两点，如果

，那么

（    ）

    A. 10    B. 8    C. 6    D. 4

8. 过抛物线

（

）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是

、

，则

的值为（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

 

二. 填空：

1. 过抛物线

的焦点，倾斜角为

的直线被抛物线截得的弦长为        。

2. 抛物线

的焦点为F，准线

交

轴于点R，过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥

于点Q，则梯形PQRF的面积是      。

3. 线段AB是抛物线

的一条焦点弦，且

，则线段AB的中点C到直线

的距离是       。

4. 抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上点A（

）到焦点的距离为5，则抛物线方程为        。

 

三. 解答题：

1. 已知抛物线

上有三点A（

）、B（

）、C（

）且

，若线段AB、BC在

轴上射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列。

2. 过抛物线

的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程

3. 设抛物线

的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥

轴。证明：直线AC经过原点O。

 

【试题答案】

一.

1. B    2. B    3. D    4. A   5. B    6. C    7. B    8. C

 

二.

1. 16   2. 14   3.

   4.

或

或

 

三.

1. 证明：根据题意，得

，即

、

、

成等差数列

又由抛物线的定义得

，

，

∵

∴

、

、

成等差数列

2. 解：设线段AB的中点为P（

），OA的斜率为

，则直线

的方程为

由

得

或

依题意得A点的坐标为A（

，

）

∵ OA⊥OB  ∴ OB的斜率为

，直线OB的方程为

由

得

或

    ∴ B点的坐标为

线段AB的中点P（

）满足

即

（2）式平方后减去（1）×3，得

为所求。

3. 证明：∵ 抛物线的焦点为F（

）  

∴ 经过点F的直线AB的方程可设为

代入抛物线方程，得

设

，则

是该方程的两根   ∴

∵ BC//

轴，且点C在准线

上

∴ 点C的坐标为（

）   ∴ 直线OC的斜率为

即

也是直线OA的斜率     ∴ 直线AC经过原点O