【本讲教育信息】
一. 教学内容:
3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量
3.2.5 距离
二. 教学目的
1、理解斜线和平面所成的角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性;会求直线与平面的夹角.
2、掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角;掌握求二面角大小的基本方法与步骤.
3、理解图形F1与图形F2的距离的概念;掌握点线距、线线距、线面距、面面距的概念,会解一些简单的与距离有关的问题.
三. 教学重点、难点
◆重点:
(1)斜线与平面所成的角(或夹角)及其求法;
(2)二面角的概念,二面角的平面角的定义;
(3)点线距、线线距、线面距、面面距的概念;点到平面距离的求法.
◆难点:
(1)二面角大小的求法.
(2)斜线与平面所成的角的求解;公式的灵活运用.
四. 知识分析
3.2.3直线与平面的夹角
1、提出问题:
(1)直线与平面的位置关系有哪些?(l,或l//α,或l(l⊥α))
(2)当直线与平面斜交时,“倾斜程度”该如何衡量?(此时,对线面角的提出有了强烈的要求)
(3)线面角的大小怎样度量?
方案:转化为合适的线线角.
【探究】已知平面γ及它的一条斜线l,斜足为O,则过O在平面γ内的直线m与l所夹的角是否不变?
先观察:肯定变化
再论证:在l上取一点P,作PQ⊥γ于Q,过Q作QM⊥m于M,连接PM,易知PM⊥m.如图记l与m所成的角(即∠POM)为β,记l与它在平面γ上的射影OQ所成的角为θ,∠QOM=α在OM上取单位向量,则
这说明,由于θ为定角,所以β随α而变化:
当α=0°时,取得最大值,从而β取最小值θ;
当α=90°时,取得最小值,从而β取最大值90°;
【结论】
斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
2、定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).
注:(1)数学思想——转化:线面角→面面角
(2)关键:找射影
【练习】
(1)在棱长都为1的正三棱锥S-ABC中,侧棱SA与底面ABC所成的角是________.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________;
②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________;
③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________;
④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________;
⑤BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________;
(3)已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°,试求OA与平面BOC所成的角的大小.
3.2.4二面角及其度量
1、二面角的概念及记法
定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;叫做二面角.
说明:对二面角概念的理解,可类比与平面几何中角的定义.射线——半平面,顶点——棱.
2、二面角的平面角
定义:在二面角的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量.我们约定,二面角的范围[0°,180°].
【探讨】尝试用向量求二面角的大小
如图所示,分别在二面角的面α、β内,并且沿α,β延伸的方向,作向量n1⊥l,n2⊥l,则我们可以用向量n1与n2的夹角来度量这个二面角.
如图,设m1⊥α,m2⊥β,则角<m1,m2>与该二面角相等或互补.
3、求二面角平面角的方法
(1)定义法
实例:过空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC,两两夹角60°,试求二面角B-OA-C的大小.
分析:如图,在射线OA上取点P,使OP=1,过P作PM⊥OA,交OB于M,作PN⊥OA,交OC于N,连接MN.则显然∠MPN为所求二面角的一个平面角.
利用已知条件可以迅速求出OM=ON=MN=2,PM=PN=.利用余弦定理,就可以求出∠MPN的大小为.
(2)三垂线定理
实例:如图,已知直角Rt△ABC,∠ACB=90°,PB⊥平面ABC,试求二面角B-PA-C的大小.
分析:由已知,得:平面PAB⊥平面ABC,为了找此二面角的一个平面角,我们可先过C作CM⊥AB,这样CM⊥平面PAB,然后,过M作MN⊥PA于N,连接CN.根据三垂线定理,得:CN⊥PA,于是∠MNC就是所求二面角的一个平面角.(想一想,还可以怎么做?)
3.2.5距离
【求距离的注意事项】
(1)求空间各种距离时,要紧紧抓住线线、点面、线面、面面之间距离的转化,其中,最基本、最重要的是点面距.
(2)求距离和求角一样,都要按照一作二证三计算的步骤进行,不可忽视第二步的证明.
(3)求距离时,要注意四点:
①合理选点:当线面平行时,选端点中点、交点.当用体积法求点面距时,选高线长容易确定的顶点.
②点点距离等于向量的模长,建立空间直角坐标系,探求向量坐标,继而求出模长、思路更加清晰,学生更易掌握.
③异面直线的距离注意考纲要求,不要扩张.
④注意立体几何与代数内容的结合点,如几何背景下的函数最值问题,几何问题代数化的向量方法等等.
【典型例题】
例1. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图所示,E,F分别是棱AA1、AB的中点,求EF和平面ACC1A1所成角的大小.
解析:解法1:过F作FG⊥AC于点G,连结EG,
∵平面⊥平面ABCD且交线为AC
∴FG⊥平面,
EG为EF在平面内的射影,
∴∠GEF即为EF与平面所成的角
设正方体棱长为1,则
又RtΔAGF中,∠GAF=
∴
∴RtΔEGF中,
∴∠GEF=
解法2:∵E、F分别是、AB的中点
∴
∴所求即为与平面所成角
设AC和中点为,则
由平面平面ABCD得
∴∠即为所求.
设正方体棱长为1,
RtΔ中,
∴
解法3:建立如图所示的直角坐标系,
设正方体棱长为2,则E(2,0,1),F(2,1,0)
作FG⊥AC于G,由解法1知,∠GEF即为所求.
∵RtΔAGF中,∠GAF
∴
∴G(,,0),(,,-1),(0,1,-1)
∴
∴
∴EF与平面所成角为.
点评:此题考查直线和平面所成角,其中,利用定义找射影是基本方法,确定斜线在平面内射影的一般步骤:先找直线上不同斜足的一点(通常是已知的相关点)在平面内的射影,再将其与斜足连结,即得.
例2.(2004,江苏卷)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.
(1)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;
(3)求点P到平面ABD1的距离.
解析:(1)∵AB⊥平面,
∴AP与平面所成的角就是∠APB.
如图建立空间直角坐标系,坐标原点为D.
∵
.
.
∵,
.
∴直线AP与平面所成的角为.
(2)连结,由(1)(0,0,4),O(2,2,4).
∴(2,2,0),.
∴.
∵平面的斜线在这个平面内的射影是,
∴.
(3)连结,在平面中,过点P作PQ⊥BC1于点Q.
∵AB⊥平面,.
∴PQ⊥AB
∴PQ⊥平面.
∴PQ就是点P到平面的距离.
在RtΔ中,∠C1QP=90°,
∠PC1Q=45°,PC1=3,∴,
即点P到平面ABD1的距离为.
例3. 如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,.求面SCD与面SAB所成角的二面角θ的正切值.
解析:以A为原点,AD,AB,AS分别为x,y,z轴建立直角坐标系,依题意有
S(0,0,1),C(1,1,0),D(,0,0),
设(x,y,z)是面SCD的一法向量,
则
.
解得n=(2,-1,1),
因为=(,0,0)是面SAB的一法向量,
所以,.
例4. 如图,底面等腰直角三角形的直三棱柱,∠C=,,D为上的点,且,求二面角的大小.
解析:因为∠C=,所以AC⊥BC,又直三棱柱,于是以C为原点,建立如图的空间直角坐标系,设,则A(0,3,0),B1(3,0,3),D(0,0,2),
所以(0,-3,2),=(3,-3,3)
设平面的法向量为(1,λ,μ),
则 即
所以 所以=(1,-2,-3).
而平面的法向量即为=(0,3,0),
所以
∴所求二面角大小为
【模拟试题】
1. 正方体中,直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2. 正四面体ABCD,E、F分别为AC、AD中点,则ΔBEF在面ADC上的射影是( )
3. 平行六面体中,六个面都是菱形,则在平面上的射影是Δ的( )
A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心
4. 一直线与两个互相垂直的平面所成的角分别为α、β,则( )
A. B.
C. D.
5. 一直线l,与平面α斜交成θ角,那么直线l与平面α内所有直线所成的角中,最小角和最大角分别是( )
A. 0, B. θ, C. 不能确定 D. 以上都不对
6. 已知在ΔABC中,AB=9,AC=15,∠BAC,平面ABC外一点P到三个顶点的距离都是14,那么点P到面ABC的距离为( )
A. 49 B. C. D. 7
7. 线段AB夹在直二面角内,,,AB与α、β所成的角分别为θ、,那么为( )
A. B. C. D.
8. 平面α内的∠MON=60°,PO是平面α的斜线段,PO=3,且PO与∠MON的两边都成45°的角,则点P到α的距离为( )
A. B. C. D.
9. E是正方形ABCD的边AB的中点,将ΔADE和ΔBCE沿DE、CE向上折起,使A、B重合于点P,则二面角D—PE—C的大小为( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 大于90°
10. 在棱长为1的正方形中,平面与平面的距离为( )
A. B. C. D.
11. 在三棱锥P—ABC中,若PA=PB=PC,则点P在面ABC内的射影是ΔABC的__________.
12. 长方体中,,AB=2a,则对角线与平面ABCD所成角的余弦值为__________.
13. ΔABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同侧,则ΔABC的重心到平面α的距离为__________.
14. 已知RtΔABC的直角顶点C在平面α内,斜边AB//α,AB,AC、BC分别和平面α成45°和30°角,则AB到平面α的距离为__________.
15. 在正四边体A—BCD中,E、F分别为AD、BC中点.
(1)求AF与CE所成角的余弦值.
(2)求CE与面BCD所成的角.
16. 在直三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,,求直线与侧面所成的角.
17. 已知正方体的棱长为a,M为中点,O为的中点.
(1)求证:MO为与的公垂线段,并求OM长;
(2)求证:与面所成的角.
(3)求证:;
(4)求证:平面//平面,并求这两个平面的距离.
18. 如图:多面体由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得,AB=4,BC=1,BE=3,CF=4,建立如图坐标系.
(1)求与点G的坐标;
(2)求异面直线EF与AD所成的角;
(3)求截面AEFG与底面ABCD所成的锐二面角的正切值.
【试题答案】
1~10 C A D D A D D A B C
11. 外心
12.
13. 4
14. 2
15. 证明:(1)AB=AC=AD=a
设,,
,
,
,
∴,
∴AF与CE夹角为.
(2)AO为正四面体的高,
,(EH为过BCD作的垂线段)
∠ECH为EC与面BCD所成的角,
,
∴CE与面BCD所成的角为
16. 取中点D,
∵Δ是正Δ,∴
∵是直棱柱
∴
连结AD.
∴∠DAB1是所求的角,,,
∴∠DAB,∴∠
17. (1)建立如图坐标,A1(a,0,0),A(a,0,a),B1(a,a,0),D(0,0,a),O(,,),M(a,0,),
,OM⊥AA1.
,OM⊥BD.
.
(2),
∴B1D与面AB1成角为
(3)B1D⊥A1C1,B1D⊥A1B,
∴B1D⊥面A1BC1.
(4),,
∴面.
∵,
∴的法向量,
(-a,-a,a),
∴面距离.
18. 解析:由题图可知A(1,0,0,),B(1,4,0),E(1,4,3),F(0,4,4),
∴(-1,0,1).
设G(0,0,z),因为平面ADG//平面BCFE,且截面AEFG截平面ADG和平面BCFE分别于AG、EF,所以AC//EF,同理可得AE//FG.
∴四边形AEFG是平行四边形.
∴ ∴(-1,0,1)=(-1,0,z),.
∴G(0,0,1).
(2)=(-1,0,0),∵,,
,
∴.
∴
即AD与EF所成的角为45°
(3)=(1,4,3)-(1,0,0)=(0,4,3),
..
,∴
S平行四边形AEFG=.
由射影面积,设平面AEFG与平面ABCD成θ°角
∴,∴.
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